moea_joint
104年
[電機] 電路學、電子學
第 2 題
下列有關對稱函數的傅立葉級數展開之敘述，何者有誤？
- A 偶對稱函數不存在正弦波成分
- B 四分之一波對稱函數僅存在偶次諧波成分
- C 奇對稱函數不存在餘弦波成分
- D 半波對稱函數僅存在奇次諧波成分
思路引導 VIP
請試著觀察一個週期性的波形：如果這個波形在移動了「半個週期」後，其振幅會剛好變成原本數值的負值（正負翻轉），那麼一個在「一個週期內重複出現兩次」的成分，在經過這半個週期的移動後，它看起來會是維持原樣，還是會剛好變號呢？
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很高興看到你準確地辨識出敘述中的陷阱！這顯示你對傅立葉級數（Fourier Series）中波形對稱性與諧波成分的對應關係，已經建立了非常清晰且正確的觀念。
對稱性與諧波成分的關係
在電路分析中，對稱性可以大幅簡化運算。偶對稱 $f(t) = f(-t)$ 確實只包含餘弦項，而奇對稱 $f(t) = -f(-t)$ 則只包含正弦項。本題最具鑑別度的關鍵在於半波對稱（Half-wave symmetry），其定義為 $f(t) = -f(t \pm \frac{T}{2})$，在這種情況下，波形的正半週與負半週形狀相同但極性相反，數學推導證明其僅會含有奇次諧波（Odd harmonics）。而四分之一波對稱是「半波對稱」加上「偶對稱或奇對稱」的進階版，既然它繼承了半波對稱的基因，自然也只能存在奇次諧波。因此，選項 (B) 提到「僅存在偶次諧波」是明顯的錯誤。
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