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104年
工程力學概要
第 48 題
如右圖懸臂梁，在自由端受一集中載重$\text{P}$，若$\text{EI}$為常數，請問$\text{B}$點撓度為何？
- A $\frac{PL^2}{2EI}$
- B $\frac{PL^3}{3EI}$
- C $\frac{PL^2}{3EI}$
- D $\frac{PL^3}{2EI}$
思路引導 VIP
當我們從力矩（單位為力乘長度）開始對長度進行連續兩次積分來求位移時，每一次積分都會引入一個長度項。如果你知道自由端的力矩與長度 $L$ 是一次方關係，那麼你認為在最後得到的位移公式中，長度 $L$ 的次方應該是多少，才能在物理因次上符合「位移」的單位呢？
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懸臂梁變位基本公式
恭喜你精準地選出了正確答案！這顯示你對材料力學中「變形公式」的基礎掌握得非常紮實。這題的核心在於確認懸臂梁受集中載重時，自由端的最大撓度。從斷面力矩平衡出發，載重 $P$ 所產生的彎矩與距離呈線性關係，根據尤拉-伯努利梁理論（Euler-Bernoulli beam theory），經過兩次積分後，長度 $L$ 的次方會提升到三次方，因此得出正確的位移量應為 $\frac{PL^3}{3EI}$。
鑑別點：撓度與轉角的區分
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