地特三等申論題
105年
[機械工程] 自動控制
第 四 題
📖 題組：
下列一閉迴路系統之比例控制器為 Kp。
(一) 寫出此系統輸入與輸出之間的轉移函數（transfer function），與其對應的微分方程式。（5 分）
(二) 求當 Kp 分別為 2、20 時，若以一個標準二階機械系統來看，其阻尼比分別為多少？（10 分）
(三) 若輸入(r(t))是一個脈衝輸入，Kp 分別為 2、20 時，其最終的響應值為何？（5 分）
(四) 若輸入(r(t))是一個單位步階輸入，Kp 分別為 2、20 時，其最終的響應值為何？（5 分）
下列一閉迴路系統之比例控制器為 Kp。
(一) 寫出此系統輸入與輸出之間的轉移函數（transfer function），與其對應的微分方程式。（5 分）
(二) 求當 Kp 分別為 2、20 時，若以一個標準二階機械系統來看，其阻尼比分別為多少？（10 分）
(三) 若輸入(r(t))是一個脈衝輸入，Kp 分別為 2、20 時，其最終的響應值為何？（5 分）
(四) 若輸入(r(t))是一個單位步階輸入，Kp 分別為 2、20 時，其最終的響應值為何？（5 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (四)
若輸入(r(t))是一個單位步階輸入，Kp 分別為 2、20 時，其最終的響應值為何？（5 分）
思路引導 VIP
本題要求「最終響應值」，即求系統的穩態響應。解題關鍵在於先由特徵方程式確認系統穩定性，接著將單位步階輸入的拉氏轉換 $R(s) = 1/s$ 代入，最後使用「最終值定理 (Final Value Theorem)」計算極限值。
小題 (三)
若輸入(r(t))是一個脈衝輸入，Kp 分別為 2、20 時，其最終的響應值為何？（5 分）
思路引導 VIP
本題測驗「最終值定理（Final Value Theorem）」的應用。看到求「最終響應值（穩態響應）」，應先確認系統穩定性，接著將脈衝輸入的拉氏轉換 $R(s)=1$ 代入，再取 $s \to 0$ 的極限值。
系統穩態響應分析
💡 利用最終值定理求解穩態響應，必須以系統穩定為前提。
🔗 穩態響應求解三步驟
- 1 求轉移函數 — 由方塊圖求得閉迴路 T(s) = Y(s)/R(s)
- 2 穩定性判斷 — 確認特徵方程式之根皆具負實部
- 3 應用最終值定理 — 計算 lim(s->0) s * T(s) * R(s) 得最終值
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：當輸入為單位步階時，穩態誤差 ess = 1 - y(∞)
