地特三等申論題
106年
[機械工程] 自動控制
第 二 題
📖 題組：
考慮一單輸入單輸出（single-input single-output）系統。
考慮一單輸入單輸出（single-input single-output）系統。
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
當輸入為 sin 2t 時，計算當時間趨近於無限大時的輸出響應為何？（10 分）
思路引導 VIP
看到正弦波輸入並求「時間趨近於無限大（穩態）」的輸出響應，應直覺聯想線性非時變系統的「頻率響應（Frequency Response）」定理。在確認系統為穩定的前提下，只需將輸入頻率 ω=2 代入系統轉移函數 G(jω) 計算其大小與相角，即可快速寫出穩態輸出響應。
小題 (一)
當輸入為一單位脈衝（unit impulse）時，已知其輸出響應（response）為 5e⁻ᵗ - 4e⁻²ᵗ。此系統之轉移函數（transfer function）為何？（10 分）
思路引導 VIP
看到「單位脈衝響應」，應直覺聯想到線性非時變系統的轉移函數即為該脈衝響應的拉普拉斯轉換（Laplace Transform）。本題只需將給定的輸出時間函數進行拉氏轉換，並通分整理化為有理函數，即可輕鬆得分。
正弦穩態響應分析
💡 線性穩定系統對正弦輸入之穩態響應為同頻率但相位振幅不同之信號
🔗 正弦穩態響應計算四步驟
- 1 識別參數 — 由輸入 sin(ωt) 確定輸入角頻率 ω
- 2 頻率響應 — 將 s = jω 代入 G(s) 得到複數值
- 3 極座標化 — 計算增益 |G(jω)| 與相位角 ∠G(jω)
- 4 時域合成 — 輸出 y(t) = A|G|sin(ωt + ∠G)
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🔄 延伸學習：若系統為非線性或不穩定，此頻率響應定理將不適用。
