高考申論題
108年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
已知一系統之轉移函數為 Y(s)/R(s) = b / (s(s+a))，其中R(s)與Y(s)分別表示輸入與輸出。
(一)當輸入為sin10t 時，系統之穩態（steady state）輸出為 √2 cos(10t +135°)。求解系統轉移函數之參數 a 與 b 之值。（10 分）
(二)當輸入為cos20t 時，求解當時間趨近於無限大時，此系統之穩態輸出響應。（9 分）
(三)求解此系統之單位步階（unit step）響應。（6 分）
已知一系統之轉移函數為 Y(s)/R(s) = b / (s(s+a))，其中R(s)與Y(s)分別表示輸入與輸出。
(一)當輸入為sin10t 時，系統之穩態（steady state）輸出為 √2 cos(10t +135°)。求解系統轉移函數之參數 a 與 b 之值。（10 分）
(二)當輸入為cos20t 時，求解當時間趨近於無限大時，此系統之穩態輸出響應。（9 分）
(三)求解此系統之單位步階（unit step）響應。（6 分）
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (一)
當輸入為sin10t 時，系統之穩態（steady state）輸出為 √2 cos(10t +135°)。求解系統轉移函數之參數 a 與 b 之值。（10 分）
思路引導 VIP
本題考查線性非時變系統對弦波輸入的穩態響應。核心觀念是：當輸入為 A sin(ωt) 時，穩態輸出為 A |H(jω)| sin(ωt + ∠H(jω))。首先，將輸入與輸出的形式統一起來。將輸出的 cos 換成 sin 的形式以便比對。接著，比對振幅放大倍率與相位差，列出 |H(j10)| 與 ∠H(j10) 的方程式。代入 s = j10，分別求出實部與虛部的關係，即可解出未知數 a 與 b。
小題 (二)
當輸入為cos20t 時，求解當時間趨近於無限大時，此系統之穩態輸出響應。（9 分）
思路引導 VIP
取得系統的完整轉移函數 H(s) = 200 / (s(s+10)) 後，這題要求新的輸入 r(t) = cos 20t 的穩態輸出。與上一題原理相同，只是將 ω 改為 20，並直接計算 |H(j20)| 與 ∠H(j20)|。最後把計算出的振幅乘上原振幅(1)，相位加上原相位(0°)，寫成 cos 的形式即可。
小題 (三)
求解此系統之單位步階（unit step）響應。（6 分）
思路引導 VIP
此題要求單位步階響應（unit step response）。將輸入 R(s) = 1/s 代入轉移函數求得 Y(s) = H(s)/s。展開 Y(s) 並利用部分分式展開法（Partial Fraction Expansion）將其拆解。由於分母有重根 s^2，部分分式會有 A/s + B/s^2 + C/(s+10) 的形式。求出各項係數後，再進行反拉普拉斯轉換即可。此為 Type 1 系統，對步階輸入會產生等速度發散的響應。
弦波穩態響應分析
💡 穩態輸出振幅與相位由頻率響應函數 H(jω) 之大小與相角決定
🔗 弦波穩態分析解題標準流程
- 1 輸入識別 — 確認輸入頻率 ω 並將輸出轉為同名三角函數
- 2 頻域轉換 — 令 s = jω，求得系統頻率響應函數 H(jω)
- 3 建立等式 — 利用輸出倍率求大小，利用相位差求相角
- 4 參數求解 — 代入已知 ω 聯立解出系統未知數 a 與 b
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🔄 延伸學習：延伸學習：利用求得之 a、b 可進一步繪製系統的波德圖以分析穩定度
