高考申論題
108年
[機械工程] 自動控制
第 二 題
📖 題組：
考慮一單位負回授控制系統，其開迴路轉移函數為 b/(s-a) 。已知此系統之相位邊界（phase margin）為 60°。
(一)求解此系統之增益邊界（gain margin），以分貝（dB）為單位。（15 分）
(二)如果已知轉移函數中參數 a 為 √3，則參數 b 以及此控制系統之增益交越頻率（gain crossover frequency）各為何？（10 分）
考慮一單位負回授控制系統，其開迴路轉移函數為 b/(s-a) 。已知此系統之相位邊界（phase margin）為 60°。
(一)求解此系統之增益邊界（gain margin），以分貝（dB）為單位。（15 分）
(二)如果已知轉移函數中參數 a 為 √3，則參數 b 以及此控制系統之增益交越頻率（gain crossover frequency）各為何？（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
如果已知轉移函數中參數 a 為 √3，則參數 b 以及此控制系統之增益交越頻率（gain crossover frequency）各為何？（10 分）
思路引導 VIP
這題是將具體的數值代入第一子題推導出來的結果。已知參數 a = √3，利用剛剛推導出的關係式 b = 2a 與 ω_cp = √3 a，即可輕鬆算出 b 與增益交越頻率。
小題 (一)
求解此系統之增益邊界（gain margin），以分貝（dB）為單位。（15 分）
思路引導 VIP
這題考驗波德圖（Bode plot）頻率響應的基礎概念：相位邊界（Phase Margin, PM）與增益邊界（Gain Margin, GM）。已知開迴路轉移函數 G(s) = b/(s-a)，若 a>0 則包含一個不穩定的極點。首先，根據相位邊界的定義 PM = 180° + ∠G(jω_cp) = 60°，列出相位角與增益交越頻率 ω_cp 的關係，以及大小為 1 的條件。解出參數之間的關係後，再依據增益邊界的定義，尋找相位交越頻率 ω_cg（即相位角為 -180° 的頻率），代入取倒數並轉換為分貝（dB）。
相位邊界與參數求解
💡 利用相位邊界定義，聯立相角與增益大小方程式求解系統參數。
🔗 頻域特性參數推導流程
- 1 設定相位條件 — 依 PM 定義求出 ωcp 與 a 的關係式
- 2 設定增益條件 — 利用 |G(jωcp)| = 1 建立 b 與 a 的關係
- 3 數值代入求解 — 將 a = √3 代入上述兩式求得 b 與 ωcp
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🔄 延伸學習：延伸學習：若系統含有延遲環節 (e⁻ᵗˢ)，則須額外考慮相角隨頻率線性下降的特性。
