地特三等申論題
112年
[機械工程] 自動控制
第 二 題
📖 題組：
如下圖控制系統，其中 K∈R，為待設計之控制增益：
如下圖控制系統，其中 K∈R，為待設計之控制增益：
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (二)
當調整 K 使此系統處於臨界穩定時，系統之震盪頻率為何？（10 分）
思路引導 VIP
首先，利用梅森增益公式（Mason's gain formula）或方塊圖代數求出系統的閉迴路轉移函數，並整理出特徵方程式。接著，利用羅斯-霍維茲（Routh-Hurwitz）準則建立陣列，藉由讓 $s^1$ 列為零找出使系統臨界穩定的 $K$ 值，最後代入 $s^2$ 列產生輔助方程式解得震盪頻率 $\omega$。
小題 (一)
試推導從輸入 R(s)到輸出 Y(s)的轉移函數，並決定能使此系統穩定的 K 之範圍。（15 分）
思路引導 VIP
本題測驗方塊圖化簡與系統穩定度分析。首先利用訊號節點命名法或梅森增益公式（Mason's Gain Formula）求得閉迴路轉移函數，再提取其特徵方程式。最後透過建立羅斯陣列（Routh Array），令第一列元素皆大於零以求解使系統穩定之 K 值範圍。
臨界穩定與震盪頻率
💡 透過 Routh 準則找臨界穩定點，並以輔助方程式求震盪頻率。
🔗 臨界穩定分析流程
- 1 特徵方程式 — 由梅森公式求 $\Delta = 1 - \sum L_i = 0$
- 2 Routh 陣列 — 排列係數並找出使 $s^1$ 列為零的 $K$ 值
- 3 輔助方程式 — 取 $s^2$ 列係數組成 $As^2 + B = 0$
- 4 震盪頻率 — 解出 $s = \pm j\omega$，$\omega$ 即為頻率
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🔄 延伸學習：延伸學習：當 $K$ 值超過臨界值時，極點將進入右半平面導致系統不穩定。
