高考申論題
109年
[機械工程] 自動控制
第 三 題
一系統的轉移函數為 $G(s)=\frac{1}{s(0.5s+1)}$，請設計一個比例控制器 $G_c(s)=K_p$ 來調整系統的閉迴路響應，使得閉迴路系統的阻尼函數為0.5。（20分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
這是一道標準的時域規格設計題。解題脈絡如下：1. 先求出加入控制器 $G_c(s)$ 後的「閉迴路轉移函數」$T(s)$。 2. 提取出閉迴路系統的「特徵方程式」，並務必將最高次項係數化為 1。 3. 將整理好的特徵方程式與標準二階系統特徵方程式 $s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 = 0$ 進行係數比對。 4. 根據題目給定的阻尼比(damping ratio) $\zeta = 0.5$，解聯立方程式求得自然頻率 $\omega_n$ 與未知的控制器增益 $K_p$。
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【考點分析】 閉迴路轉移函數推導、二階系統標準特徵方程式、阻尼比(Damping Ratio)與控制器參數設計。 【理論/法規依據】
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二階系統參數設計
💡 透過閉迴路特徵方程式與標準二階式比對求解控制器增益。
🔗 二階比例控制器設計流程
- 1 建立特徵方程式 — 令 $1+G_c(s)G(s)=0$ 展開分母多項式。
- 2 係數正規化 — 將最高次項 $s^2$ 係數化為 1，此為比對關鍵。
- 3 標準式比對 — 對應 $2\zeta\omega_n$ 與 $\omega_n^2$ 各項係數。
- 4 求解控制器參數 — 代入已知 $\zeta=0.5$ 算出 $K_p$ 數值。
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🔄 延伸學習：延伸學習：分析增加 $K_p$ 對穩態誤差與系統穩定性的影響。
