地特三等申論題
106年
[機械工程] 自動控制
第 三 題
📖 題組：
考慮一單位負回授（unity negative feedback）控制系統，其開迴路（open loop）轉移函數為 G(s) = K / [(s + 1)(s + 4)]。
考慮一單位負回授（unity negative feedback）控制系統，其開迴路（open loop）轉移函數為 G(s) = K / [(s + 1)(s + 4)]。
📝 此題為申論題，共 3 小題
小題 (三)
欲使此控制系統之相位邊界（phase margin）為 45°，K 值應如何設計？（10 分）
思路引導 VIP
看到相位邊界（PM）的設計題，首要想到 PM 的定義：在增益交越頻率（ωc）時的相位角加上 180°。解題策略分兩步：1. 利用 PM=45° 反推出相角為 -135°，透過正切和角公式解出 ωc；2. 將 ωc 代回大小響應等於 1 的條件（|G(jωc)|=1），即可求得目標 K 值。
小題 (一)
欲使此控制系統對於步階輸入之穩態誤差（steady state error）為其步階輸入值之 5%，K 值應如何設計？（5 分）
思路引導 VIP
看到「步階輸入的穩態誤差」，應立即聯想到系統型態與位置誤差常數（Kp）的定義。利用單位負回授系統穩態誤差公式 ess = A / (1 + Kp)，代入誤差比例條件即可反推所需的系統增益 K 值。
小題 (二)
欲使此控制系統之阻尼比（damping ratio）為 0.707，K 值應如何設計？（10 分）
思路引導 VIP
看到單位負回授系統，首先求出閉迴路特徵方程式。將其與標準二階系統特徵方程式（s^2 + 2ζω_n s + ω_n^2 = 0）進行係數比較，代入給定的阻尼比 ζ = 0.707（通常視為 1/√2），即可聯立解出自然頻率 ω_n 與目標增益值 K。
相位邊界與增益設計
💡 利用相位邊界定義求得交越頻率，進而推算系統增益 K。
🔗 相位邊界補償設計流程
- 1 建立相角關係 — 由 PM = 180 + ∠G(jω) 列出含 ωc 的方程式
- 2 求解交越頻率 — 利用 tan 和角公式解出 ωc 之數值
- 3 滿足幅值條件 — 令開迴路增益 |G(jωc)| = 1
- 4 確定設計增益 — 解出 K 值完成控制器設計
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🔄 延伸學習：延伸學習：了解相位邊界如何影響系統的超越量與轉折頻率。
