高考申論題
108年
[機械工程] 自動控制
第 一 題
📖 題組：
考慮一單位負回授控制系統，其開迴路轉移函數為 b/(s-a) 。已知此系統之相位邊界（phase margin）為 60°。
(一)求解此系統之增益邊界（gain margin），以分貝（dB）為單位。（15 分）
(二)如果已知轉移函數中參數 a 為 √3，則參數 b 以及此控制系統之增益交越頻率（gain crossover frequency）各為何？（10 分）
考慮一單位負回授控制系統，其開迴路轉移函數為 b/(s-a) 。已知此系統之相位邊界（phase margin）為 60°。
(一)求解此系統之增益邊界（gain margin），以分貝（dB）為單位。（15 分）
(二)如果已知轉移函數中參數 a 為 √3，則參數 b 以及此控制系統之增益交越頻率（gain crossover frequency）各為何？（10 分）
📝 此題為申論題，共 2 小題
小題 (一)
求解此系統之增益邊界（gain margin），以分貝（dB）為單位。（15 分）
思路引導 VIP
這題考驗波德圖（Bode plot）頻率響應的基礎概念：相位邊界（Phase Margin, PM）與增益邊界（Gain Margin, GM）。已知開迴路轉移函數 G(s) = b/(s-a)，若 a>0 則包含一個不穩定的極點。首先，根據相位邊界的定義 PM = 180° + ∠G(jω_cp) = 60°，列出相位角與增益交越頻率 ω_cp 的關係，以及大小為 1 的條件。解出參數之間的關係後，再依據增益邊界的定義，尋找相位交越頻率 ω_cg（即相位角為 -180° 的頻率），代入取倒數並轉換為分貝（dB）。
小題 (二)
如果已知轉移函數中參數 a 為 √3，則參數 b 以及此控制系統之增益交越頻率（gain crossover frequency）各為何？（10 分）
思路引導 VIP
這題是將具體的數值代入第一子題推導出來的結果。已知參數 a = √3，利用剛剛推導出的關係式 b = 2a 與 ω_cp = √3 a，即可輕鬆算出 b 與增益交越頻率。
頻率響應穩定度分析
💡 透過增益與相位交越頻率定義，計算系統穩定裕度與參數。
🔗 頻域穩定邊界計算流程
- 1 定義頻率特性 — 找出 |G(jω)| 與 ∠G(jω) 的數學表示式。
- 2 求解增益交越 — 根據 PM 或 |G|=1 算出 ωcp 與系統未知參數。
- 3 尋找相位交越 — 設定 ∠G(jωcg) = -180° 求出相位交越頻率 ωcg。
- 4 計算分貝值 — 將 ωcg 代入 -20 log10 |G| 公式求得 GM。
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🔄 延伸學習：延伸學習：結合奈氏圖 (Nyquist Plot) 判斷含 RHP 極點系統的閉迴路穩定性。
