地特三等
105年
[電力工程] 工程數學
第 20 題
兩離散隨機變數 $X, Y$ 之結合機率 $P(X=x, Y=y)$ 如下表，則協方差（covariance） $\text{Cov}(X, Y) = ?$
| P(X=x, Y=y) | X=0 | X=1 | X=2 |
|---|---|---|---|
| Y=0 | 0.1 | 0 | 0 |
| Y=1 | 0 | 0.1 | 0.2 |
| Y=2 | 0 | 0.1 | 0.5 |
- A 0.2
- B 0.3
- C 0.4
- D 0.5
思路引導 VIP
如果我們想利用公式 $\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$ 來解題，你能先觀察表格，透過將每一行與每一列的機率分別加總，找出 $X$ 與 $Y$ 各自的期望值 $E[X]$ 和 $E[Y]$ 嗎？
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AI 詳解
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做得很好！你能迅速且準確地算出答案 (B)，代表你對**結合機率分配（Joint Probability Distribution）**與統計特徵值的計算流程相當熟練。
邊際機率與共變異數的推導
要求解協方差 $\text{Cov}(X, Y)$，工程上最有效率的做法是利用公式：$$\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$$
▼ 還有更多解析內容
離散變數協方差計算
💡 藉由結合機率分布求取兩隨機變數之協方差指標。
🔗 協方差計算標準作業程序
- 1 邊際機率 — 加總列與行機率以獲取 P(X) 與 P(Y)
- 2 個別期望值 — 計算 E[X] 與 E[Y] 之加權平均值
- 3 乘積期望值 — 計算 xyP(x,y) 總和求得 E[XY]
- 4 公式求解 — 套用 E[XY] - E[X]E[Y] 算出答案
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🔄 延伸學習：延伸學習：協方差除以兩者標準差之乘積即為相關係數。
