105年地特三等 — 工程數學

共 20 題 · 含 AI 詳解

#1 下列向量集合何者為線性相依（linearly dependent）？（選項中 T 代表轉置（Transpose）） › #2 試問向量 $\begin{bmatrix} 1 \ -2 \ 3 \end{bmatrix}$ 於一子空間… › #3 假設 $A \in R^{3 \times 3}$，$B \in R^{3 \times 3}$，且 $I$ 為三階單位矩陣，已知 $|A| = -4$，$|B| = 6$… › #4 假設矩陣… › #5 若 $A = \begin{bmatrix} 3 & 7 & 10 & 13 \ 2 & 6 & 12 & 14 \ 5 & 9 & 11 & 15 \ 4 & 12 & 24 & 28 \end{bmatrix}$… › #6 $f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 3x_2^2 + 6x_3^2 - 2x_1x_2 + 2ax_1x_3$，當 $a$ 為下列何值時，可… › #7 下列何者為複數函數 $e^z = 1-i$ 的根？其中 $i = \sqrt{-1}$。 › #8 假設路徑 $C$ 為一逆時針方向的圓形封閉路徑的邊界，其數學定義式為 $z = 2e^{i\theta} (0 \le \theta \le \pi)$，求 $\int_C e^{1/z} dz$… › #9 假設積分路徑是所標示的積分上下限之間的任意軌跡，求 $\int_i^{i/2} e^{\pi z} dz$ 的值為何？ › #10 函數 $f(t)$ 之拉氏轉換（Laplace Transform）為 $F(s) = L[f(t)]$，若 $f(t) = 2e^{-3t} \cos 4t$… › #11 求解微分方程 $y' = 2y + 2x$，其解為： › #12 求 $x' + 2y' - y = 0$，$x' + y = e^{-t}$，$x(0) = y(0) = 0$ 之解： › #13 試求反拉氏轉換（Inverse Laplace Transform） $L^{-1} \left[ \frac{2s-1}{s^2 + 8s + 25} \right] = ?$ › #14 求 $x^2 y' + xy = -y^{-3/2}$ 之通解？（選項中 $c$ 為任意常數） › #15 求偏微分方程式 $u_{xy} - 2u_x = 0$ 之解？（選項中 $k_1(y)$ 為 $y$ 的函數，$k_2(x)$ 為 $x$ 的函數） › #16 給定一偏微分方程式為 $\frac{\partial^2 u}{\partial y \partial x} + 2\frac{\partial u}{\partial x} = x$… › #17 令 $y(t)$ 為微分方程式 $\frac{d^2 y}{dt^2} + 4\frac{dy}{dt} + 4y = 2t^2$ 之解，其中 $y(0) = y'(0) = 0$… › #18 對於隨機變數 $X$，以下期望值與變異數的性質何者錯誤？其中 $k$ 為任意常數： › #19 連續隨機變數 $X$ 與 $Y$ 之結合機率密度函數（joint probability density function）為… › #20 兩離散隨機變數 $X, Y$ 之結合機率 $P(X=x, Y=y)$ 如下表，則協方差（covariance） $\text{Cov}(X, Y) = ?$ ›