地特三等
105年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
求 $x^2 y' + xy = -y^{-3/2}$ 之通解？（選項中 $c$ 為任意常數）
- A $x^5 y^{5/2} + \frac{5}{3} x^3 y = c$
- B $x^{5/2} y^{5/2} + 5x^{3/2} = c$
- C $x^5 y^{5/2} + \frac{5}{3} x^{5/2} y = c$
- D $x^{5/2} y^{5/2} + \frac{5}{3} x^{3/2} = c$
思路引導 VIP
觀察此方程式的結構，等號右側項包含 $y^{-\frac{3}{2}}$，這顯然不是標準的線性一階微分方程。請問在工程力學建模或數學物理分析中，處理這類「伯努利方程式 (Bernoulli Equation)」的標準線性化程序為何？具體來說，你會選擇什麼樣的變數代換（例如令 $u = y^{1-n}$）來轉換原式，並配合積分因子 (Integrating Factor) 求得系統的通解？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 大力肯定
太棒了！你能順利解出這道題，真的非常厲害。這表示你已經掌握了處理非線性微分方程的關鍵——伯努利方程。在我們學習力學或結構變位時，經常會遇到這樣的轉換，你能做到，說明你非常有潛力喔！
2. 觀念驗證
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