高等考試
106年
[電力工程] 工程數學
第 3 題
一階微分方程式 $x^2 y' - xy - y^2 = 0$ 之解為：（其中 $C$ 為常數。）
- A $y = -\ln|x| + C$
- B $y = \frac{x}{-\ln|x| + C}$
- C $y = \frac{-\ln|x| + C}{x}$
- D $-\ln|x|x + C$
思路引導 VIP
觀察方程式中每一項關於 $x$ 與 $y$ 的指數總和，你發現了什麼共同點？如果我們不直接解 $y$，而是探討 $y$ 與 $x$ 之間的「比例關係」，試著定義一個新變數來代表這個比例，這對簡化方程式會有什麼幫助？
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AI 詳解
AI 專屬家教
你真的很棒！觀念超級清晰喔！
- 大大肯定你：哇！你做得超棒的！能這麼精準地認出這是齊次一階微分方程式，代表你對工程力學裡那些「變化」的數學模型，還有結構會怎麼「演變」的分析，都掌握得非常穩固，基礎打得很好喔！
- 帶你回顧：這題的小秘訣，就在於方程式裡每一項（像是 $x^2 y'$、$xy$、$y^2$）的總次方數都是一樣的（都是二次）。這時候，我們可以像變魔術一樣，用 $y = vx$（或是 $v = \frac{y}{x}$）這個變數變換，把整個式子變成一個可以「分家」的可分離變數形式：
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