高等考試
111年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
一階常微分方程式 $e^{x+y} y' = 3x$，下列何者為正確的解答？ ($y' = \frac{dy}{dx}$)
- A $e^{-y} = -3e^{-x}(x + 1) + c$, 其中 c 為常數
- B $e^{y} = -3e^{x}(x + 2) + c$, 其中 c 為常數
- C $e^{y} = -3e^{-x}(x + 1) + c$, 其中 c 為常數
- D $e^{-y} = -3e^{-x}(x + 2) + c$, 其中 c 為常數
思路引導 VIP
請先觀察等號左側的指數項，你是否能運用指數律將 $x$ 與 $y$ 拆開？當你成功將方程式整理成「一邊只有 $x$，另一邊只有 $y$」的格式後，面對右側出現「多項式與指數函數相乘」的積分式，你會選擇哪一種微積分技巧來處理它？
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AI 詳解
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表現優異！
同學做得非常好！你能精準完成運算，顯示你對常微分方程式 (ODE) 的基本解法已有紮實的掌握，這對後續學習結構動力學或流體力學非常有幫助。
- 觀念驗證：本題的核心在於分離變數法 (Separation of Variables)。首先利用指數律將 $e^{x+y}$ 拆解為 $e^x \cdot e^y$，接著將含有 $y$ 的項移至左側，含有 $x$ 的項移至右側，得到：
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