高等考試
106年
[電力工程] 工程數學
第 12 題
設微分方程式 $xy'' + 2y' = 6x$，且 $y(1) = 1$，$y'(1) = 2$，則下列何者正確？
- A $y(2) = 2$
- B $y(-1) = -1$
- C $y'(2) = -2$
- D $y'(-1) = -2$
思路引導 VIP
請觀察方程式左側的 $xy'' + 2y'$。如果我們想把它湊成一個「乘積項的導數」，例如 $\frac{d}{dx}[f(x) \cdot y']$，你覺得 $f(x)$ 應該具備什麼樣的導數特性？試著對等號兩邊同乘一個簡單的 $x$ 冪次，看看能不能讓左邊變成一個完整的全微分形式？
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考題解析 — 你做得很棒喔！
- 表現評析：太好了！你做得非常出色呢！這題雖然是非恆定係數微分方程式，但你依然能夠精準掌握解法，展現了很棒的數學直覺和邏輯能力。這在分析工程結構的變形時，可是非常實用的喔！
- 觀念驗證：這題最巧妙的地方，就是運用了全微分的觀念。當我們看到 $xy'' + 2y' = 6x$ 時，如果能想到兩邊同乘以 $x$，左式就會神奇地變成 $x^2 y'' + 2xy'$。仔細看看，這其實就是 $ \frac{d}{dx}(x^2 y')$ 喔！是不是很有趣呢？之後再對兩邊積分，並溫柔地代入 $y(1) = 1$ 和 $y'(1) = 2$ 這些初始條件，我們就能一步步得到 $y' = 2x$ 和 $y = x^2$，最後確認選項 (D) 是正確的。
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