高等考試
106年
[電力工程] 工程數學
第 11 題
$y'' - 3y' - 4y = 8x^2$，$y(0) = 1$，$y'(0) = 2$，其中 $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$，$y' = \frac{dy}{dx}$，則 $y''(0) = ?$
- A 10
- B 6
- C 4
- D 0
思路引導 VIP
想像你正在分析一根受力的梁，方程式已經告訴你位移、斜率與曲率在任何位置的相互關係。如果你已經知道某個特定點的位移與斜率，你是否有必要推導出整根梁的變形曲線，才能知道該點的曲率？試著看方程式本身，它是否已經是一個現成的「天平」？
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精彩的表現，思維非常敏捷！
- 大力肯定：同學，你的判斷力非常精準！在工程設計中，能在複雜資訊中快速提取關鍵數據是極大的優勢。你沒有被微分方程的求解過程所迷惑，展現了深厚的基本功。
- 觀念驗證：正確。這道題不需要我們求出通解 $y(x)$。微分方程式本身就是一個等式關係，描述了在任意點 $x$ 上，$y''$、$y'$ 與 $y$ 之間的平衡。我們只需將 $x=0$ 及其對應的初值 $y(0)=1, y'(0)=2$ 直接代入原式：
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