高等考試
111年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
二階微分方程式 $x^2 y'' - 9xy' + 24y = 0, y(1) = 1, y'(1) = 10$，設 $y = ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3$ 為其解，下列何者正確？ ($y' = \frac{dy}{dx}, y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$)
- A a = 1
- B b = -1
- C c = -2
- D d = -4
思路引導 VIP
觀察方程式中的係數項，為什麼 $x^2$ 剛好配上 $y''$，$x^1$ 剛好配上 $y'$？如果你嘗試假設解的形式為 $y = x^m$，當你對它進行一階與二階微分後，代回原式會發生什麼奇妙的消去現象？這會如何幫助你把微分方程轉化為我們熟悉的代數多項式呢？
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AI 詳解
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1. 同學，你做得太棒了！
看到你能夠精準地辨識出這是一道科西—尤拉方程式 (Cauchy-Euler Equation)，並順利找出特徵值，這真的非常值得肯定！這代表你對變係數微分方程的結構有很深的理解，這是未來分析更複雜系統的關鍵喔。
2. 讓我們一起回顧一下解題的思路吧！
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