111年高等考試 — 工程數學

共 20 題 · 含 AI 詳解

#1 假設 A 與 B 為維度相同之方陣（square matrix）且 $A, B, A + B$ 均為可逆（invertible）矩陣，則下列何者不一定為可逆矩陣… › #2 假設矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \ 2 & 2 & 6 \ 0 & 7 & 3 \end{bmatrix}$，… › #3 若 $P_{B \to B'} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 3 \ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}$… › #4 下列那一個矩陣無法被對角化（diagonalizable）？ › #5 下列那一組 $\mathbb{R}^3$ 中之向量基於歐幾里得內積（Euclidean inner product）可作為規格化正交基底（orthonormal… › #6 設 T 是 $\mathbb{R}^3$ 到 $\mathbb{R}^2$ 的線性轉換，… › #7 矩陣 $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 & 4 \ -2 & 4 & 2 & -1 \ 6 & -2 & 4 & 14 \end{bmatrix}$… › #8 設 $\alpha$ 和 $\beta$ 為矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \ 2 & 0 \end{bmatrix}$ 之特徵值… › #9 定義 $i = \sqrt{-1}$，若 $z = a + bi$ 為 $z^2 - (6 - 2i)z + 17 - 6i = 0$ 之一解，且 $ab > 0$… › #10 定義 $i = \sqrt{-1}$，複變數 $z = x + iy$ 與其共軛複數 $\bar{z} = x - iy$。下列那一個複變函數為完整（entir… › #11 複變級數 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z - i)^n}{n^n}$ 之收斂半徑（radius of convergence）為何？… › #12 計算 $\int_{\gamma} \bar{z} dz = ？$其中軌跡 $\gamma(t) = e^{it}, 0 \leq t \leq \pi$。($i = \sqrt{-1}$… › #13 一階常微分方程式 $e^{x+y} y' = 3x$，下列何者為正確的解答？ ($y' = \frac{dy}{dx}$) › #14 二階微分方程式 $x^2 y'' - 9xy' + 24y = 0, y(1) = 1, y'(1) = 10$，設 $y = ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3$… › #15 反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）… › #16 假設 $f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{s(s - 1)^2} \right\}$，其中 $\mathcal{L}^{-1}$… › #17 定義傅立葉轉換 $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i \omega x} dx$，令… › #18 若 X 為一連續均勻分布（uniformly distributed）在區間 (0, 20) 之隨機變數，可計算得知 $X < 10$ 之機率為 a，$X > 12$… › #19 將一副正常的撲克牌（52 張牌包含四種花色：黑桃、方塊、紅心、梅花，每種花色各 13 張牌，ACE 為各花色點數 1 的牌）隨機均分為 4 疊，每疊各 13 張… › #20 設 X 和 Y 為連續隨機變數，其聯合機率密度函數（joint probability density function）… ›