110年高等考試 — 工程數學

共 20 題 · 含 AI 詳解

#1 2 × 2 實數矩陣 Q 的特徵值為 -2、-3。若定義矩陣跡（trace）為對角線元素相加，則 Q 的跡（trace）為何值？ › #2 令 T 和 S 為 $R^3$ 映射至 $R^2$ 的線性轉換（linear transformation），其中 $T(x,y,z)=(x-y, z+y)$… › #3 給定矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \ 5 & 0 & 2 \ 4 & 4 & 1 \ \end{bmatrix}$ ，… › #4 考慮如下所示之過度限制（over-determined）線性聯立方程式： $\begin{cases} x+y = 3 \ x+2y = -1 \ x+3y = 2 \ x+4y = 7 \end{cases}$… › #5 考慮一個作用在 $\mathbb{R}^2 = \{(x,y)|x,y \in \mathbb{R}\}$ 的線性轉換（linear transformatio… › #6 考慮如下所示之線性聯立方程式：… › #7 我們考慮一個矩陣：$\begin{bmatrix} -1 & 3 & 0 \ -2 & x & -1 \ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$，若已… › #8 有一條三維空間中的曲線，曲線上的點的坐標 (x,y,z) 以參數式來表示為：$x(t)=2\sin(t), y(t)=2\cos(t), z(t)=5t$。請問… › #9 如果 $3e^{i\pi/3} + 5e^{-i\pi/4} + 2e^{i\pi} = x + iy$ ， $i = \sqrt{-1}$，那麼下列有關於 x… › #10 令 $i$ 為單位虛數，則 $\sin(\pi + i)$ 的實部（real part）為何？ › #11 若積分路徑 C 為逆時鐘方向且滿足 $|z| = 1$，則複變函數積分 $\oint_C \frac{4z^2+z+2}{z(4z^2-17z+4)} dz$… › #12 我們考慮複變函數 $f(z) = z^2 + 1$ ($z=x+iy$) 沿著曲線 $\Gamma$ 作線積分（line integral），其中 $\Gamma$… › #13 考慮如下所示之初始值問題（initial-value problem）： $y'' - x^2y' - 3xy = 0$; $y(0) = 1, y'(0) = -2$… › #14 假設 $y(x)$ 可以由下列微分方程來描述： $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2-1}{2y+5}$ 而且合乎初始條件：$y(1) = -1$… › #15 下列選項之中，何者屬於線性（linear）微分方程式？ › #16 給定微分方程式 $\frac{dy}{dt} + 2y = t\delta(t-2)$，初始值為 $y(0) = 0$， $\delta(t)$ 為脈衝函數（i… › #17 考慮微分方程式 $y''+5y'+6y=x$，初始值為 $y(0)=A$ 和 $y'(0)=B$。若其解為… › #18 有兩位桌球選手，根據以往的經驗，在每一局的比賽之中兩人的勝率比例為 6 比 4。如果他們進行一倴五戰三勝的比賽（也就是搶先嬴得三局的選手為整倴比賽的勝利者），那… › #19 有兩個隨機變數 X 與 Y，我們以 $P_{XY}(x,y) = Prob(X=x, Y=y)$ 來代表其合併機率函數（joint probability fu… › #20 設 X 為一連續隨機變數（random variable），機率密度函數（probability density function）為常態分佈（normal d… ›