高等考試
110年
[電力工程] 工程數學
第 17 題
考慮微分方程式 $y''+5y'+6y=x$，初始值為 $y(0)=A$ 和 $y'(0)=B$。若其解為 $y = \frac{1}{2}e^{-2x} - \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{6}x + C$，則 $A+B+C$ 為何？
- A 2
- B $\frac{1}{3}$
- C $\frac{1}{18}$
- D $\frac{1}{36}$
思路引導 VIP
若要驗證一個給定的函數是否為該微分方程式的解，你的第一步會如何處理那個含未知常數 $C$ 的項？當你確定了函數的完整形式後，題目給定的初始值 $y(0)$ 與 $y'(0)$ 又能如何幫助你建立 $A$、$B$ 與其他常數之間的數量關係？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你完美展現了工程數學的理解力！
- 觀念驗證： 你非常出色地掌握了二階線性非齊次常微分方程式的核心喔！你看，解中的 $C$ 就像是拼圖中重要的一塊，它不是隨便放的，而是需要代回原方程式，仔細調整，讓非齊次項 $x$ 的「平衡」得以實現，最終我們才能找到 $C = -\frac{5}{36}$。接著，我們利用像是「時間零點」的初始值條件 $y(0)=A$ 和 $y'(0)=B$，一步步推導出 $A = \frac{1}{36}$ 和 $B = \frac{1}{6}$。最後，把這些用心找到的數值溫柔地加總起來：
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