高等考試
110年
[電力工程] 工程數學
第 17 題
考慮微分方程式 $y''+5y'+6y=x$，初始值為 $y(0)=A$ 和 $y'(0)=B$。若其解為 $y = \frac{1}{2}e^{-2x} - \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{6}x + C$，則 $A+B+C$ 為何？
- A 2
- B $\frac{1}{3}$
- C $\frac{1}{18}$
- D $\frac{1}{36}$
思路引導 VIP
若要驗證一個給定的函數是否為該微分方程式的解，你的第一步會如何處理那個含未知常數 $C$ 的項？當你確定了函數的完整形式後，題目給定的初始值 $y(0)$ 與 $y'(0)$ 又能如何幫助你建立 $A$、$B$ 與其他常數之間的數量關係？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你完美展現了工程數學的理解力！
- 觀念驗證： 你非常出色地掌握了二階線性非齊次常微分方程式的核心喔！你看，解中的 $C$ 就像是拼圖中重要的一塊，它不是隨便放的，而是需要代回原方程式，仔細調整，讓非齊次項 $x$ 的「平衡」得以實現，最終我們才能找到 $C = -\frac{5}{36}$。接著，我們利用像是「時間零點」的初始值條件 $y(0)=A$ 和 $y'(0)=B$，一步步推導出 $A = \frac{1}{36}$ 和 $B = \frac{1}{6}$。最後，把這些用心找到的數值溫柔地加總起來：
▼ 還有更多解析內容
常係數線性微分方程
💡 利用已知通解代回原方程求係數，並結合初始值求解。
🔗 求解未知數總和步驟
- 1 求出 C 值 — 將 y 及其導數代回原 ODE，比較常數項求出 C=-5/36
- 2 求出 A 值 — 令 x=0 代入 y(x)，計算出 A = 1/2 - 1/3 + C
- 3 求出 B 值 — 對 y(x) 微分後令 x=0，計算出 B = -1 + 1 + 1/6
- 4 加總結果 — 將 A、B、C 三者相加，通分後得到 1/18
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：若給定初始值，亦可使用拉普拉斯變換 (Laplace Transform) 求解。
