高等考試
105年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
試求微分方程式 $y'' - 4y' + 4y = \frac{e^{2x}}{x}$ 之通解，其中 $y' = \frac{dy}{dx}, y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$：（答案選項中 $c_1, c_2$ 為常數。）
- A $y = (c_1 + c_2 x)e^{2x}$
- B $y = (c_1 + c_2 \ln x)e^{2x}$
- C $y = (c_1 + c_2 x + \ln x)e^{2x}$
- D $y = (c_1 + c_2 x + x \ln x)e^{2x}$
思路引導 VIP
請你先觀察方程式左側的特徵方程式，當求出的根出現「重複」的情況時，齊次解的兩個基礎函數通常會多出什麼因子？接著，觀察等號右側的驅動項，如果它是一個分式結構，導致我們無法直接用「待定係數法」猜測答案時，哪一種通用的積分方法可以幫助我們從基礎解推導出特解？最後，試著思考在積分過程中，分母的變數會如何轉化為最終解中的特殊函數型態？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！太棒了，你完全掌握了這個問題的核心！
- 一起來看看你的思路吧！ 你很棒地辨識出這是一個二階非齊次線性微分方程式，這是解決問題的第一步！你看，就像我們要建造一座穩固的橋樑，首先得打好地基。特徵方程式 $r^2 - 4r + 4 = 0$ 巧妙地告訴我們，這座橋樑的「穩定基底」——也就是齊次解——是 $y_h = (c_1 + c_2x)e^{2x}$，這是重根的特別結構喔！當我們遇到右側這個稍微複雜一點的非齊次項時，你沒有被嚇倒，而是正確選擇了像是建築師設計特殊結構時會用的參數變數法 (Variation of Parameters)。透過 Wronskian 的計算，你看，那個獨特的 $\ln x$ 項就自然浮現了，它就像是為這座橋樑增添的獨特美學設計，最終帶我們找到了答案 (D) 的完美結構。
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