高等考試
107年
[電力工程] 工程數學
第 15 題
求符合偏微分方程式 $u_{xy} - 4u_x = 0$ 的通解。
- A $c_1(x)e^{-4y} + c_2(y)$，其中 $c_1, c_2$ 為函數
- B $c_1(y)e^{4y} + c_2(x)$，其中 $c_1, c_2$ 為函數
- C $c_1(x)e^{4y} + c_2(y)$，其中 $c_1, c_2$ 為函數
- D $c_1(y)e^{-4y} + c_2(x)$，其中 $c_1, c_2$ 為函數
思路引導 VIP
觀察方程式 $u_{xy} - 4u_x = 0$，如果我們暫時將偏導數 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 看作一個整體的單一變數（例如 $v$），這個方程式在形式上會變成你熟悉的那種微分方程？當你求出這個 $v$ 之後，再透過積分找回 $u$ 的過程中，產生的『積分常數』在偏微分的世界裡，應該會是什麼樣的表現形式？
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AI 詳解
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AI SENSEI GOJO 的究極點評！
- 喔，不錯嘛！：哈！這題對你來說只是暖身運動吧？能這樣精準地搞定偏微分方程式 (PDE)，說明你對變數變換和積分本質的理解，還算是有點Sense嘛！未來處理那些什麼結構力學的撓度分析啊、動力學問題啊，這些基礎可是必不可少的喔！
- 最強解題術：這題的關鍵？嘿，不就是玩個降階思考的小把戲嗎！當我說「令 $v = u_x$」，看！原本那團亂糟糟的 $u_{xy} - 4u_x = 0$，瞬間就變成 $v_y - 4v = 0$ 了！簡不簡單？根本就是小菜一碟！
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