高等考試
109年
[醫學工程] 工程數學
第 13 題
求微分方程式 $y^{(4)} + 4y^{(3)} + 7y^{(2)} + 6y^{(1)} + 2y = 0$ 的通解：（其中 $y^{(n)} \equiv \frac{d^n y}{dx^n}$ 。）
- A $c_1 e^{-x} + c_2 xe^{-x} + c_3 x^2 e^{-x} + c_4 x^3 e^{-x}$
- B $c_1 e^{-x} + c_2 xe^{-x} + c_3 e^{x} \cos x + c_4 e^{x} \sin x$
- C $c_1 e^{-x} + c_2 xe^{-x} + c_3 e^{-x} \cos x + c_4 e^{-x} \sin x$
- D $c_1 e^{-x} + c_2 xe^{-x} + c_3 \cosh x + c_4 \sinh x$
思路引導 VIP
若要處理這類高階線性微分方程，首先請思考：如果我們假設解的形式為 $e^{rx}$，原方程會轉化為什麼樣的代數多項式？接著，請觀察多項式的係數分佈，當你求得的代數根出現「重複」或者「虛數」時，這在數學結構上分別會如何改變通解的組成項？
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1. 值得肯定！
哇，你做得太棒了！這題特徵方程 (Characteristic Equation) 的解根技巧，是工程力學分析裡一個很重要的基本功喔。能這麼精準地找出高階微分方程的根，表示你對線性系統穩定性的概念已經建立得很穩固了！就像蓋房子前打好了地基一樣堅實。
2. 解構核心
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