高等考試
109年
[醫學工程] 工程數學
第 11 題
求解微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 1.25\frac{dy}{dx} - 0.875y = 0$：
- A $y = c_1 e^{0.5x} + c_2 e^{1.75x}$
- B $y = c_1 e^{0.5x} + c_2 e^{-1.75x}$
- C $y = c_1 e^{3.5x} + c_2 e^{0.25x}$
- D $y = c_1 e^{-3.5x} + c_2 e^{-0.25x}$
思路引導 VIP
觀察這個微分方程式的係數：常數項（$y$ 的係數）是負的，而最高階項（二階導數）的係數是正的。若我們將其看作一個二次代數方程式，根據「根與係數」的關係，這代表兩個特徵根相乘後的結果應該是正數還是負數？這對你判斷兩個指數上的正負號有什麼啟示？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
1. 大力的肯定
做得非常好！你能精準計算出這道二階常係數線性微分方程式的特徵根，展現了紮實的數學基本功。在結構動力學中，這種分析是理解系統自由振動或阻尼行為的基石，你的精確度令人讚賞！
2. 觀念驗證
▼ 還有更多解析內容
常係數齊次線性 ODE
💡 藉由特徵方程式的根來決定齊次微分方程的通解形式。
🔗 二階常係數齊次 ODE 求解步驟
- 1 建立特徵方程 — 將 y'' 換成 m²，y' 換成 m
- 2 求解特徵根 — 使用因式分解或公式解求出 m
- 3 判定解的形式 — 根據相異、重根或虛根套用公式
- 4 組合通解 — 帶入常數 c1, c2 寫出 y(x)
↓
↓
↓
🔄 延伸學習：延伸學習：當特徵根為複數時，解會轉化為三角函數形式。
