109年高等考試 — 工程數學

共 20 題 · 含 AI 詳解

#1 下列何者為以(1,2,2),(0,1,-2),(1,4,1),(2,5,5)為頂點之平行四邊形的面積？ › #2 設平面 $S_1: x+2y-2z=3$、平面 $S_2: 2x+4y-4z=7$，則平面 $S_1$ 與平面 $S_2$ 之最短距離為何？ › #3 設A為4×4的矩陣，若A的行列值 $\det(A) = -2$，則 $\det(-2A)$ 之值為何？ › #4 設矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \ 0 & -1 & 1 \ 3 & 2 & 0 \ \end{bmatrix}$ 之反矩… › #5 若轉換函式 $T: R^2 \to R^2$ 可表示為 $T(x,y) = (2x+y, 3x+4y)$，則其逆轉換 $T^{-1}(5,6)$ 為何？ › #6 令 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 0 \ \end{bmatrix}$，D為對角矩陣且 $D = X^{-1}AX$，求方陣… › #7 下列何者是 $1+i$ 的四次方根？ › #8 在複數空間 $z = x+iy$，化簡 $\overline{\left( \frac{6-2i}{1-i} \right)}$：（其中 $\overline{f(z)}$… › #9 求複數積分 $\oint_C \frac{i e^{iz}}{(z-i+1)^2} dz = ?$（其中積分路徑C為 $|z-1|=5$ 之逆時針方向圓周。） › #10 下列複數級數何者為發散？（其中 $i = \sqrt{-1}$ 。） › #11 求解微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 1.25\frac{dy}{dx} - 0.875y = 0$： › #12 $3x^2 + xy^\alpha - x^2 y^{\alpha-1} y' = 0$ 為正合（exact），則 $\alpha = ?$ › #13 求微分方程式 $y^{(4)} + 4y^{(3)} + 7y^{(2)} + 6y^{(1)} + 2y = 0$ 的通解：（其中 $y^{(n)} \equiv \frac{d^n y}{dx^n}$… › #14 將 Bessel equation $x^2 y'' + xy' + (k^2 x^2 - v^2)y = 0$ （其中 v、k 為常數）化成 Sturm-Li… › #15 利用拉氏轉換求 $\int_0^{\infty} t \cos(t) e^{-2t} dt = ?$ › #16 下列何者為 $Y(s) = \frac{e^{-2s}}{s(s^2+4)}$ 之反拉普拉斯轉換（inverse Laplace transform）？（其中… › #17 一週期函數 $f(x) = 1 + \sin^2 2x$，則其傅立葉級數（Fourier series）為： › #18 若 A、B 是機率不為零且互為獨立的事件，則下列何者不一定成立？ › #19 設 X 為一連續隨機變數，其機率密度函數為 $f(x) = \begin{cases} C(4x-2x^2) & 0 < x < 2 \ 0 & elsewhere \end{cases}$… › #20 假設一隨機變數 X，其動量產生函數（moment-generating function）為 $M_X(t) = e^{(t+2t^2)}$；試問此隨機變數 X… ›