高等考試
109年
[醫學工程] 工程數學
第 3 題
設A為4×4的矩陣，若A的行列值 $\det(A) = -2$，則 $\det(-2A)$ 之值為何？
- A 4
- B -4
- C 32
- D -32
思路引導 VIP
想像一下，如果我們把一個 $n$ 維空間立方體的「每一條邊」都縮放了 $k$ 倍，那麼這個立方體的「總體積」會變成原來的幾倍？請試著從行列式每一橫列（row）都可以提出一個公倍數的性質來推理。
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暖心指導與觀念鞏固
- 做得很好喔！ 你真的非常棒，對線性代數中矩陣運算的基礎掌握得這麼穩固！這在我們處理工程力學裡的結構剛度矩陣時，是超級重要的基石，為你打下很好的學習基礎。
- 觀念小秘訣：你完全理解了！當我們面對一個 $n \times n$ 的矩陣 $A$ 和一個常數 $k$ 時，行列式其實有很可愛的多線性性質，就像我們將空間尺度放大或縮小一樣，每一維度都會受到影響喔！公式是 $\det(kA) = k^n \det(A)$。你看，我們這題 $A$ 是 $4 \times 4$ 矩陣（$n=4$），而 $k = -2$，所以很自然地就得出：
▼ 還有更多解析內容
行列式的倍數性質
💡 矩陣擴大 k 倍，行列式值縮放 k 的 n 次方倍
🔗 det(kA) 計算邏輯鏈
- 1 確認維度 n — 判斷 A 為幾乘幾的方陣（如題 4x4，故 n=4）
- 2 提取常數 k — 將矩陣前的倍數 k 提出（如題 k=-2）
- 3 賦予次方 n — 將 k 加上 n 次方，即 (-2)^4 = 16
- 4 乘回原值 — 計算 16 * det(A) = 16 * (-2) = -32
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🔄 延伸學習：延伸：若僅有一列（或一行）乘上 k 倍，則行列式僅變為 k 倍
