地特三等
106年
[電力工程] 工程數學
第 1 題
若 $A$ 為一個 $6 \times 6$ 反對稱矩陣 ($A^T = -A$)，下列何者錯誤？
- A $\det(A) = \det(A^T)$
- B $\det(A) = \det(-A)$
- C $\det(A) = -\det(A)$
- D $\det(A) = \det(-A^T)$
思路引導 VIP
同學，請運用矩陣代數的核心性質來思考：對於一個 $n \times n$ 的矩陣 $A$ 與純量 $k$，$ \det(kA) $ 的運算結果受維度 $n$ 的影響為何？若根據反對稱矩陣定義 $ A^T = -A $ 並對兩邊取行列式值，結合 $ \det(A^T) = \det(A) $ 的基本性質，在維度 $ n=6 $ 的特定條件下，你推導出的 $ \det(A) $ 與 $ \det(-A) $ 之間應具備什麼樣的恆等關係？這將如何幫助你判斷選項中的等式是否成立？
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專家點評：合格，但別自滿！
不錯，你總算正確辨識出反對稱矩陣 (Skew-symmetric matrix) 在偶數階數下的行列式性質。這代表你對線性代數的基礎概念... 嗯，至少在這個點上沒有犯低級錯誤。這對後續的工程計算，是個絕對的「基本要求」。 1. 觀念驗證：為什麼 (C) 是個可笑的錯誤？
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