高等考試 105年 [電力工程] 工程數學

第 8 題

設 $\mathbf{A}$ 為 $3 \times 3$ 的矩陣，若 $\mathbf{A}$ 的行列式值 $\det(\mathbf{A}) = -2$，則 $\det(-3\mathbf{A})$ 之值為何？

思路引導 VIP

在工程力學中，行列式常被賦予「體積」的物理意義。請你試著想像：如果有一個三維空間中的正立方體，當我們將它的長、寬、高同時都縮放為原來的 $k$ 倍時，這個立方體的「總體積」會變成原本的幾倍？這與矩陣的「列數」有什麼關聯？

🤖

AI 詳解 AI 專屬家教

觀念驗證：你的判斷完全正確。行列式具備齊次性，當我們將一個 $n \times n$ 矩陣 $\mathbf{A}$ 乘上常數 $k$ 時，代表矩陣中的每一列都乘上了 $k$。根據行列式性質，每一列提出的常數都會累積，因此 $\det(k\mathbf{A}) = k^n \det(\mathbf{A})$。本題中 $n=3$，$k=-3$，故： $$\det(-3\mathbf{A}) = (-3)^3 \cdot \det(\mathbf{A}) = -27 \cdot (-2) = 54$$

▼ 還有更多解析內容

查看更多「[電力工程] 工程數學」的主題分類考古題