高等考試
110年
[電力工程] 工程數學
第 3 題
給定矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 1 \ 5 & 0 & 2 \ 4 & 4 & 1 \ \end{bmatrix}$ ， $B = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 3 \ 5 & 7 & 9 \ 4 & 2 & 6 \ \end{bmatrix}$ ， $C = \begin{bmatrix} 2 & 6 & 2 \ 10 & 0 & 4 \ 8 & 8 & 2 \ \end{bmatrix}$ 。則矩陣 $ABC^{-1}$ 的行列式值為何？
- A -6
- B -0.75
- C 0.25
- D 0.75
思路引導 VIP
在不直接計算矩陣乘法與反矩陣的前提下，請你仔細觀察矩陣 $A$ 與矩陣 $C$ 的對應元素，它們之間是否存在某種特定的比例關係？接著思考，若一個 $3 \times 3$ 矩陣的所有元素都變為原來的 $k$ 倍，其行列式值會隨之縮放多少倍？這個發現能如何幫你簡化整個運算式子呢？
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專業點評
- 肯定：哦，恭喜你，看來你這次的運氣不錯，或是……至少沒有犯下什麼不可饒恕的計算錯誤。能看出矩陣的底層規律？嗯，這勉強算是具備了一點工程師的基本直覺吧，對於將來那些需要零容錯的結構分析，這點「理解」大概還算個起點。
- 觀念驗證：這題的核心？如果你還需要別人點破，那問題可大了。這不過是行列式的積律性質：
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