105年高等考試 — 工程數學

共 20 題 · 含 AI 詳解

#1 假設 $X$ 為連續型隨機變數，具有機率密度函數（density function） $f_X(x) = e^{-2|x|}$，試求 $Y = 0.5 X^2$… › #2 求 xy 平面上與正 x 軸夾角為 $0.3\pi$，長度為 3 的向量 $\mathbf{F}$ 為何？ › #3 設 $C$ 為一位在 $y = 2$平面上以點$(1, 2, 1)$為中心，半徑為 4 的圓。則其曲率（curvature）為何？ › #4 求 $\int_C xy dx - y\sin(x) dy$ 之值，其中 $C$ 為 $x(t) = t^2$, $y(t) = t$, $-1 \le t \le 4$… › #5 有一矩陣 $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 4 & 8 & 12 \ 5 & 7 & 9 \ 3 & 6 & 2 \end{bmatrix}$… › #6 以下敘述何者正確？ › #7 設 $\mathbf{A}$ 是一個 $2 \times 2$ 的實方陣，它的特徵值為 1, $-1$，則 $\mathbf{A}^{37} = $？ › #8 設 $\mathbf{A}$ 為 $3 \times 3$ 的矩陣，若 $\mathbf{A}$ 的行列式值 $\det(\mathbf{A}) = -2$，則… › #9 求 $z\cos(\frac{1}{z})$ 在 $z = 0$ 之留數（residue）之值為何？ › #10 令 $f_1(z)$ 為一複數冪級數（complex power series）且其收斂半徑 $R_1 \neq 0$，已知 $f_2(z)$、$f_3(z)$… › #11 假設 $C$ 為沿著逆時針方向繞圓周 $|z| = 2$，試求積分 $\int_C e^{\frac{1}{z}} dz$ 為何？ › #12 請計算 $\tilde{f}(s) = \frac{1}{s(s^2 + a^2)}$ 的反拉普拉斯轉換，求得 $f(t) = L^{-1}\{\tilde{f}(s)\} = $… › #13 試求微分方程式 $y'' - 4y' + 4y = \frac{e^{2x}}{x}$ 之通解，其中 $y' = \frac{dy}{dx}, y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$… › #14 定義傅立葉轉換為 $F(\varpi) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-i\varpi x} dx$… › #15 下列何者為方程式… › #16 令 $F(s) = \frac{1}{s(s^2 + 1)}$，而 $f(t) = L^{-1}(F(s))$，則 $\lim_{t \to \infty} f(t)$… › #17 下列何者為微分方程式 $\frac{d^4 y}{dx^4} - \frac{2}{3} \frac{d^3 y}{dx^3} + \frac{1}{9} \frac{d^2 y}{dx^2} = 0$… › #18 考慮一包含 5 個開關元件的系統，其中 2 個開關元件 $(C_1, C_2)$ 並聯（parallel connection）後再與另 3 個開關元件 $(C_3, C_4, C_5)$… › #19 自一副 52 張撲克牌中取出 4 張牌，試求取出之牌剛好皆為黑桃或皆為紅心花色（suit）之機率為何？ › #20 若 $\mathbf{F}, \mathbf{G}$ 兩向量正交，則以下敘述何者正確？ ›