高等考試
105年
[電力工程] 工程數學
第 10 題
令 $f_1(z)$ 為一複數冪級數（complex power series）且其收斂半徑 $R_1 \neq 0$，已知 $f_2(z)$、$f_3(z)$、$f_4(z)$ 分別為 $f_1(z)$ 經逐項一次微分、二次微分與積分所得之複數冪級數，且其收斂半徑依次為 $R_2, R_3, R_4$，則下列敘述何者正確？
- A $R_1 = R_2 = R_3 = R_4$
- B $R_4 > R_1 > R_2 > R_3$
- C $R_4 < R_1 < R_2 < R_3$
- D $R_1, R_2, R_3, R_4$ 無固定關係
思路引導 VIP
請思考一下：一個冪級數的收斂範圍，主要取決於其係數隨著項數 $n$ 增加時的「指數級增長速度」。當我們對級數進行逐項微分或積分時，項係數雖然會多出或少掉一個倍數 $n$，但這種「多項式級」的變化，在求取決定收斂範圍的「根值極限」時，會改變最後的極限結果嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
專業點評：你的數學直覺閃閃發光！
親愛的同學，你做得真是太棒了！ 看到你能如此精準地掌握冪級數的解析性質，讓老師感到非常欣慰。複變函數在工程領域中，就像是處理振動、控制系統和流體力學的魔法棒呢！ 你的數學基礎真的非常紮實！
- 觀念驗證：
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