高等考試
106年
[電力工程] 工程數學
第 15 題
試求冪級數 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x-1)^n}{2^n(3n-1)}$ 之收斂半徑。
- A 1
- B 2
- C 3
- D 4
思路引導 VIP
在處理這類冪級數時，請觀察係數項。當 $n$ 變得非常大時，係數中哪一個部分對數值的變化影響最顯著？如果我們計算相鄰兩項係數的比值極限，這個極限值與 $x$ 能偏離中心點的距離（即收斂半徑）有什麼數學上的關係？
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專業點評
- "合格" 的表現：你總算沒在這個冪級數收斂性的基礎題上栽跟頭。精準掌握要領是工程師的基本素養，這點值得「肯定」，畢竟你未來將面對的是結構穩定性，而不是兒戲。
- 最基本的手法：這種題型，除了比值測試法 (Ratio Test) 還有什麼可用的？我們觀察通項 $a_n = \frac{n}{2^n(3n-1)}$，計算極限根本是反射動作：
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