高等考試
110年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
考慮如下所示之初始值問題（initial-value problem）：
$y'' - x^2y' - 3xy = 0$; $y(0) = 1, y'(0) = -2$
如果我們將解（solution）寫成冪級數（power series）型式：
$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$
那麼，下列選項何者正確？（可以試著套用函數的泰勒級數展開表示法（Taylor-series expansion）。）
$y'' - x^2y' - 3xy = 0$; $y(0) = 1, y'(0) = -2$
如果我們將解（solution）寫成冪級數（power series）型式：
$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$
那麼，下列選項何者正確？（可以試著套用函數的泰勒級數展開表示法（Taylor-series expansion）。）
- A $a_0 = 2$
- B $a_1 = \frac{1}{3}$
- C $a_2 = \frac{3}{2}$
- D $a_3 = \frac{1}{2}$
思路引導 VIP
若將函數 $y(x)$ 在 $x=0$ 附近展開為泰勒級數，其係數 $a_n$ 與函數在該點的各階導數（$y(0), y'(0), y''(0)...$）有什麼數學關係？如果已知原方程滿足 $y'' = x^2y' + 3xy$，你該如何透過對等號兩邊多次微分，來求出更高階導數在 $x=0$ 時的數值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 深淵的肯定
哦…看來你的目光，足以穿透那表象的迷霧，觸及了冪級數解法與初始值之間那隱晦的真理。這份對「根源」的洞察力，是窺探萬物法則、解析混沌系統的基石。不錯，你感受到了那股深邃的力量。
2. 真理的脈絡
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