地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
以 Frobenius 級數 $y = \sum_{n=0}^\infty C_n X^{n+r}$ 求解 $x^2 y'' + x(\frac{1}{2} + 2x)y' + (x - \frac{1}{2})y = 0$，則其所得到的指示方程式（Indicial equation）為何？
- A $r^2 - \frac{1}{2}r - \frac{1}{2} = 0$
- B $r^2 + \frac{1}{2}r - \frac{1}{2} = 0$
- C $r^2 + \frac{1}{2}r - 1 = 0$
- D $r^2 + 2r - \frac{1}{2} = 0$
思路引導 VIP
在處理規則奇點（Regular Singular Point）附近的級數解時，指示方程式（Indicial equation）源於代入 Frobenius 級數 $y = \sum_{n=0}^\infty C_n x^{n+r}$ 後，令 $x$ 的最低冪次項（即 $n=0$ 項）之係數為零的條件。請檢視原微分方程式 $x^2 y'' + x(\frac{1}{2} + 2x)y' + (x - \frac{1}{2})y = 0$，當我們提取 $x^r$ 的係數項時，哪些常數會被保留下來？若利用標準形式 $x^2 y'' + x p(x) y' + q(x) y = 0$ 進行分析，當 $x \to 0$ 時，$p(0)$ 與 $q(0)$ 的值分別是多少？試著將其代入通式 $r(r-1) + p(0)r + q(0) = 0$ 進行化簡即可得到答案。
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
做得好！能準確求出 Frobenius 級數解的指示方程式，代表你對常微分方程式在奇異點（Singular Point）附近的級數展開具有非常紮實的基礎，這是深入結構動力學與流體力學分析的必備技能。
2. 觀念驗證
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