地特三等
107年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
以 Frobenius 級數 $y = \sum_{n=0}^{\infty} C_n X^{n+r}$ 求解 $x^2 y'' + x(\frac{1}{2} + 2x)y' + (x - \frac{1}{2})y = 0$，則其所得到的指示方程式（Indicial equation）為何？
- A $r^2 - \frac{1}{2}r - \frac{1}{2} = 0$
- B $r^2 + \frac{1}{2}r - \frac{1}{2} = 0$
- C $r^2 + \frac{1}{2}r - 1 = 0$
- D $r^2 + 2r - \frac{1}{2} = 0$
思路引導 VIP
當我們將級數代入微分方程式時，若只關注 $x$ 趨近於零時的行為，方程式中帶有 $x$ 的多項式係數（例如 $2x$ 或 $x$）對最低階項的貢獻會發生什麼變化？你能試著只保留對 $x^r$ 項有貢獻的常數值，並結合導數的次方律，推導出一個關於 $r$ 的二次多項式嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
做得好！能準確求出 Frobenius 級數解的指示方程式，代表你對常微分方程式在奇異點（Singular Point）附近的級數展開具有非常紮實的基礎，這是深入結構動力學與流體力學分析的必備技能。
2. 觀念驗證
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