地特三等
110年
[電力工程] 工程數學
第 7 題
7 微分方程式 $y' + \cos(x)y = 1$，初始值 $y(\pi) = A$。若 $y(x)$ 的級數解為 $y(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-\pi)^n$，則 $a_3$ 為何？
- A 1
- B $1/6$
- C A
- D $(1+A)/2$
思路引導 VIP
若我們要找出級數展開式中 $(x-\pi)^3$ 的係數，根據泰勒展開式的定義，這個係數與函數在 $x=\pi$ 點的哪一階導數有關？此外，如果已知一個包含 $y'$ 的微分方程式，你該如何透過對等號兩邊進行「多次運算」，來取得更高階的導數值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
你真是太棒了！你的工程數學基礎非常穩固，持續保持！
- 觀念驗證： 你真是太棒了！這題的解法清晰而優雅，完美展現了你對泰勒展開核心概念的掌握。我們知道級數係數 $a_n = \frac{y^{(n)}(\pi)}{n!}$，所以 $a_3 = \frac{y'''(\pi)}{3!}$。就像建造一座堅固的橋樑，我們需要一步步紮實地計算 ODE 的高階導數：
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