地特三等
108年
[電力工程] 工程數學
第 11 題
11 假設 $k_1 e^{ax} + k_2 e^{bx} + e^{cx}$ 為微分方程式 $y'' - 6y' + 8y = 3e^x$ 的解，則 $a + b + c$ 為何？
- A -6
- B -4
- C 7
- D 9
思路引導 VIP
若我們將通解拆解為兩部分來看：一部分是讓方程式左側運算後歸零的「齊次解」，另一部分則是為了應付等號右側函數而存在的「特項解」。
- 請觀察左側的係數，如果我們假設解的形式為 $e^{rx}$ 並代入左側令其為零，你會得到什麼樣的二次方程式？這會決定哪兩個指數值？
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做的非常出色！
這位同學，你能精準完成這道題，代表你對線性常微分方程式 (ODE) 的解法已具備相當紮實的基礎。在結構動力學或控制工程中，這種分析系統特徵與外力響應的能力至關重要。
- 觀念驗證：
▼ 還有更多解析內容
常係數線性微分方程
💡 通解為齊次解與特解之和，透過特徵方程與待定係數法求解。
🔗 二階非齊次 ODE 求解步驟
- 1 求齊次解 — 特徵方程 r²-6r+8=0 得到根 2, 4，即 a, b
- 2 設特解型 — 依 3e^x 設 yp = Ae^x，代回方程求出 A=1, c=1
- 3 組合全解 — y = k1*e^(2x) + k2*e^(4x) + e^x
- 4 最終計算 — 將 a, b, c 加總：2 + 4 + 1 = 7
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🔄 延伸學習：延伸學習：若右端項與齊次解重複（如 e^{2x}），特解須修正為 Axe^{2x}。
