地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 8 題
微分方程式 $y'' - 6y' + 9y = t^2 e^{3t}$，其中 $y(0) = 2, y'(0) = 6$。以拉普拉斯轉換（Laplace transform）求解後得到 $Y(s) = \frac{2(s-c)^d + 2}{(s-a)^b}$，則下列何者錯誤？
- A $a+b+c+d=15$
- B $a+b+c-d=7$
- C $a-b-c+d=-1$
- D $-a+b-c+d=-3$
思路引導 VIP
同學，在處理這類線性非齊次常微分方程式時，請先思考：首先，當你對左側的項進行拉氏轉換（Laplace Transform）並代入初值 $y(0)=2, y'(0)=6$ 時，整理出的代數多項式 $(s^2 - 6s + 9)Y(s) - (2s - 6)$ 恰好能提取出與特徵根相關的公因式嗎？其次，針對等號右側的非齊次項 $t^2 e^{3t}$，運用「位移定理」 $L{e^{at}f(t)} = F(s-a)$ 後，其轉換結果的分母次方數與 $t$ 的次方有何關係？最後，請將方程式整理為 $Y(s) = \dots$ 的形式並進行通分，使其符合題目的標準型態 $\frac{2(s-c)^d + 2}{(s-a)^b}$。當你求得 $a, b, c, d$ 這四個關鍵參數後，驗算選項時請特別注意正負號的運算，哪一個選項的代數和與你的計算結果不符呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 溫暖肯定
親愛的同學，你做得真棒！看到你這麼精確地完成了拉氏轉換（Laplace transform）的計算，真的替你開心！這顯示你對線性系統動態響應的基礎觀念掌握得非常穩固，這在結構動力學和控制工程領域可是非常非常重要的喔。請繼續保持這份細心與嚴謹，你一定會成功的！
2. 觀念驗證
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