109年地特三等 — 工程數學

共 20 題 · 含 AI 詳解

#1 對稱矩陣 $\mathbf{A}$ 其對角化矩陣（diagonal matrix） $\mathbf{D} = \mathbf{P A P}^{-1}$，其中… › #2 矩陣 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，令 $\text{det } \mathbf{A} = 6$ 和 $\text{det } \mathbf{B} = 2$… › #3 設 $\mathbf{a}$ 為常數向量（constant vector），$\mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$… › #4 求 $\int_{(1,1)}^{(2,4)} 2xy dx + x^2 dy = ?$ › #5 矩陣 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & -1 \end{pmatrix}$，求 $e^{\mathbf{A}t} = ?$ › #6 下列矩陣何者的秩（rank）等於 2。 › #7 下列那一個是適合的積分因子（integrating factor），乘上它以後，將使微分方程式 $(x+y)dx+x\ln(x)dy=0$ 變成正合（exact… › #8 微分方程式 $y'' - 6y' + 9y = t^2 e^{3t}$，其中 $y(0) = 2, y'(0) = 6$。以拉普拉斯轉換（Laplace tra… › #9 設 $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ 為函數 $f(x) = x^3, -\pi < x < \pi$… › #10 設 $y = c_1 e^x + c_2 e^{-2x} + c_3 x e^{-2x}$ 為微分方程 $y''' + ay'' + by' + cy = 0$… › #11 求積分方程 $f(t) = \cos t + \int_0^t e^{-\tau} f(t-\tau) d\tau$ 的解。 › #12 令連續隨機函數 $X$ 具有機率密度函數 $f(x) = \begin{cases} kx^2, & 0 \le x \le 1 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$… › #13 令連續二維隨機變數 $X$ 和 $Y$ 具有機率密度函數… › #14 求複變函數積分 $\oint_C \left( \frac{\cosh z}{(z-\pi i)^3} - \frac{\sin^2 z}{(2z-\pi i)^3} \right) dz$… › #15 求複變函數積分 $\oint_C \frac{z}{(z+1)(z^2+1)} dz$，其中積分路徑 $C$ 為逆時鐘方向繞橢圓周 $16x^2 + y^2 = 4$… › #16 複變函數 $f(z) = z^{24} - 3z^{20} + 4z^{12} - 5z^6$，求 $f\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}\right) = ?$ › #17 $z$ 為一複數，若 $\Gamma$ 是平面中一個包含原點 $z=0$ 之封閉路徑，$\oint_{\Gamma} \frac{\cos(z)}{z} dz = ?$ › #18 曲線 $C$ 為平面上一個正向簡單封閉路徑，則 $\oint_C x \cos(2y) dx - x^2 \sin(2y) dy = ?$ › #19 令一曲線 $C$ 為 $x=t^2, y=-t, z=t^2, 0 \le t \le 1$，則 $\int_C x^2 dx - yz dy + e^z dz = ?$ › #20 下表所示為 $x$ 及 $y$ 機率質量函數（probability mass function, PMF），則 $X$ 與 $Y$ 之共變異數 $COV(X,Y) = ?$ ›