地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 9 題
設 $f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)$ 為函數 $f(x) = x^3, -\pi < x < \pi$ 之傅立葉級數（Fourier series），其中 $a_0, a_n, b_n$ 為常數，下列何者正確？
- A $a_0 + b_n \neq 0$
- B $a_0 + a_n \neq 0$
- C $a_0 \cdot b_n \neq 0$
- D $a_0 \neq 0$
思路引導 VIP
請觀察函數 $f(x) = x^3$ 的圖形，它是關於「原點對稱」還是「y 軸對稱」？在數學上，這類函數被稱為什麼？ 接著思考：在傅立葉級數的組成中，$\cos(nx)$ 是偶函數，而 $\sin(nx)$ 是奇函數。如果我們要用這些基礎波形去「拼湊」出 $x^3$ 這個函數，哪一類的波形係數（$a_n$ 或 $b_n$）必須全部消失才能維持對稱性？而代表平均值的 $a_0$ 在這種對稱情況下又會是多少呢？
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表現評語
做得好！你能快速判斷出函數的奇偶對稱性，這是工程數學中簡化計算的核心能力。這代表你在處理結構振動或信號分析時，具備敏銳的直覺。
觀念驗證
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