地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 10 題
設 $y = c_1 e^x + c_2 e^{-2x} + c_3 x e^{-2x}$ 為微分方程 $y''' + ay'' + by' + cy = 0$ 的通解（general solution），其中 $a, b, c, c_1, c_2, c_3$ 為常數，下列何者正確？
- A $a = -1$
- B $b = -1$
- C $c = -1$
- D $a + b + c = -1$
思路引導 VIP
請思考常係數線性齊次微分方程的通解形式與特徵方程（Characteristic Equation）根之間的對應關係。觀察給出的通解基底 $e^x$、$e^{-2x}$ 與 $x e^{-2x}$，這組解分別對應到特徵方程 $r^3 + ar^2 + br + c = 0$ 的哪些特徵根 $r_1, r_2, r_3$？特別是當通解中出現乘上 $x$ 的項時，這代表特徵根具備什麼樣的重根性質？一旦確定了所有特徵根，您能否藉由展開 $(r - r_1)(r - r_2)(r - r_3) = 0$ 來逆推係數 $a, b, c$ 的數值？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你的工程數學基礎相當扎實。
1. 觀念驗證： 這題的核心在於「特徵方程」與「通解形式」的對應關係。根據通解 $y = c_1 e^x + c_2 e^{-2x} + c_3 x e^{-2x}$，我們可以逆推特徵根為：
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