地特三等
109年
[電力工程] 工程數學
第 10 題
設 $y = c_1 e^x + c_2 e^{-2x} + c_3 x e^{-2x}$ 為微分方程 $y''' + ay'' + by' + cy = 0$ 的通解（general solution），其中 $a, b, c, c_1, c_2, c_3$ 為常數，下列何者正確？
- A $a = -1$
- B $b = -1$
- C $c = -1$
- D $a + b + c = -1$
思路引導 VIP
請你觀察通解中的指數項 $e^x$ 與 $e^{-2x}$，這代表系統特徵方程的根是什麼？另外，通解中出現了 $x e^{-2x}$ 這一項，根據線性微分方程的理論，這暗示了根的特性的什麼變化？如果你已經掌握了所有的根，你要如何逆向構建出那個原始的多項式方程，進而找出各項係數的數值關係呢？
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太棒了！你的工程數學基礎相當扎實。
1. 觀念驗證： 這題的核心在於「特徵方程」與「通解形式」的對應關係。根據通解 $y = c_1 e^x + c_2 e^{-2x} + c_3 x e^{-2x}$，我們可以逆推特徵根為：
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