111年地特三等工程數學考古題

#1 我們準備對（1, -1, 3）以及（2, 0, -4）這兩個向量做外積（cross product）。如果將答案寫成（1, -1, 3） $\times$ （2… ›

#2 考慮一線性方程組 $Ax = b$，$A$ 為 $m \times n$ 矩陣，$m > n$。下列敘述何者錯誤？ ›

#3 如果用 $\phi$ 來代表（1, 3, 2）與（0, -1, 4）這兩個向量之夾角，那麼 $\sin^2 \phi = $ ？請選出最接近的數值： ›

#4 假設我們已知（1, 2, 3）、（1, 0, -1）以及（3, 1, $\alpha$）這三個向量無法構成 $\Re^3 \{(x, y, z) | x, y, z \in \Re\}$… ›

#5 考慮如下所示之矩陣： $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \ -2 & 1 \end{bmatrix}$ 。下列敘述何者正確？ ›

#6 如下所示之選項中，何者為矩陣 $\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \ 1 & -2 & 1 \ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$… ›

#7 考慮一馬可夫過程（Markov process）： $x(k+1) = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \ 0.2 & 0.7 \end{bmatrix} x(k)$… ›

#8 在下列四個選項所顯示的複變函數（complex function），其中有三個是可解析的（analytic，亦稱 differentiable（可微分的）），有… ›

#9 考慮如下所示之複變函數： $f(z) = \frac{6+i}{z^3} + \frac{-7}{z^2} + \frac{5-2i}{z} + 1 - 2z + (5-i) \cdot z^2 + z^3$… ›

#10 在本題中我們考慮複變函數的線積分（line integral）。首先我們知道複數平面上的點可以寫成 $z = x + i \cdot y$ （$i = \sqrt{-1}$… ›

#11 令 $g(z) = \int_{C} \frac{s^2 - s + 2}{(s - z)^2} ds$ ，其中路徑積分之路徑 $C$ 為以 $\pm 2, \pm 2i$… ›

#12 有一個雙變數函數 $f(x, y) = x^2 \cdot \sin(x \cdot y)$ 。請問 $f(x, y)$ 在（1, $\pi$）的梯度（grad… ›

#13 考慮微分方程式： $\ddot{y}(t) + \dot{y}(t) + y(t) = \sin \omega t, t \ge 0$ ，其中 $\dot{y}$… ›

#14 考慮一個初始值問題（initial-value problem）微分方程： $y''(x) + x \cdot y'(x) + e^x \cdot y(x) = x^2 + 1$… ›

#15 下列關於拉普拉斯轉換（Laplace transformation） $L(f) := \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$ 之… ›

#16 考慮以下函數： $f(t) = 1$ ，當 $0 \le t \le 2$ ； $f(t) = 0$ ，當 $t \le 0$ 或 $t \ge 2$ 。下列敘… ›

#17 考慮一隨機變數 $x$，其機率密度分布函數具有下列形式： $f(x) = 1 - |x|, |x| \le 1$ ，且 $f(x) = 0, |x| > 1$… ›

#18 有兩個連續的隨機變數 $X$ 與 $Y$，它們的合併機率密度函數（joint probability density function）為：… ›

#19 假設我們有一個不公平（unfair）的銅板，在每次投擲中出現正面的機率為 0.4，出現反面的機率為 0.6。如果我們丟擲這個銅板 5 次，結果出現正面比出現反面… ›

#20 請問 $i^{2i}$ 的主值（principal value）為何？ ›

111年地特三等 — 工程數學