111年地特三等 — 工程數學

共 20 題 · 含 AI 詳解

#1 我們準備對 $(1, -1, 3)$ 以及 $(2, 0, -4)$ 這兩個向量做外積（cross product）。如果將答案寫成 $(1, -1, 3) imes (2, 0, -4) = (a, b, c)$… › #2 考慮一線性方程組 $Ax = b$， $A$ 為 $m imes n$ 矩陣，$m > n$。下列敘述何者錯誤？ › #3 如果用 $\phi$ 來代表 $(1, 3, 2)$ 與 $(0, -1, 4)$ 這兩個向量之夾角，那麼 $\sin^2 \phi = ?$ 請選出最接近的數… › #4 假設我們已知 $(1, 2, 3)$、$(1, 0, -1)$ 以及 $(3, 1, \alpha)$ 這三個向量無法構成 $\mathbb{R}^3$ 的基底… › #5 考慮如下所示之矩陣 $A$。下列敘述何者正確？ › #6 如下所示之選項中，何者為矩陣的特徵向量（characteristic vector，亦稱 eigenvector）？（選項中的符號 $[\dots]^T$ 代表… › #7 考慮一馬可夫過程（Markov process）：$x(k+1) = \begin{bmatrix} 0.8 & 0.3 \ 0.2 & 0.7 \ \end{bmatrix} x(k)$… › #8 在下列四個選項所顯示的複變函數（complex function），其中有三個是可解析的（analytic，亦稱 differentiable（可微分的）），有… › #9 考慮如下所示之複變函數：$f(z) = \frac{6+i}{z^3} + \frac{-7}{z^2} + \frac{5-2i}{z} + 1 - 2z + (5-i) \cdot z^2 + z^3$… › #10 在本題中我們考慮複變函數的線積分（line integral）。首先我們知道複數平面上的點可以寫成 $z = x + iy$ ($i = \sqrt{-1}$)… › #11 令 $g(z) = \oint_C \frac{s^2-s+2}{(s-z)^2} ds$，其中路徑積分之路徑 $C$ 為以 $\pm 2, \pm 2i$ 為… › #12 有一個雙變數函數 $f(x, y) = x^2 \cdot \sin(x \cdot y)$。請問 $f(x, y)$ 在 $(1, \pi)$ 的梯度（gra… › #13 考慮微分方程式：$\ddot{y}(t) + \dot{y}(t) + y(t) = \sin \omega t, t \ge 0$，其中 $\dot{y}$… › #14 考慮一個初始值問題（initial-value problem）微分方程：$y''(x) + x \cdot y'(x) + e^x \cdot y(x) = x^2 + 1$… › #15 下列關於拉普拉斯轉換（Laplace transformation） $L(f) := \int_0^{\infty} f(t) e^{-st} dt$ 之敘述… › #16 考慮以下函數：$f(t) = 1$，當 $0 \le t \le 2$；$f(t) = 0$，當 $t \le 0$ 或 $t \ge 2$。下列敘述何者正確？ › #17 考慮一隨機變數 $x$，其機率密度分布函數具有下列形式：$f(x) = 1 - |x|, |x| \le 1$，且 $f(x) = 0, |x| > 1$。請問… › #18 有兩個連續的隨機變數 $X$ 與 $Y$，它們的合併機率密度函數（joint probability density function）為：… › #19 假設我們有一個不公平（unfair）的銅板，在每次投擲中出現正面的機率為 0.4，出現反面的機率為 0.6。如果我們丟擲這個銅板 5 次，結果出現正面比出現反面… › #20 請問 $i^{2i}$ 的主值（principal value）為何？ ›