地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 9 題
考慮如下所示之複變函數： $f(z) = \frac{6+i}{z^3} + \frac{-7}{z^2} + \frac{5-2i}{z} + 1 - 2z + (5-i) \cdot z^2 + z^3$ （$i = \sqrt{-1}$）。如果我們將該函數在 $z = 0$（亦即複數平面上的原點）的留數（residue）寫成 $a + b \cdot i$ 的形式，那麼 $a + b = $ ？
- A $-2$
- B 0
- C 3
- D $2\pi$
思路引導 VIP
在複變分析中，當函數 $f(z)$ 以繞原點 $z=0$ 的勞倫級數 (Laurent series) $\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n z^n$ 形式展開時，根據留數 (Residue) 的定義，哪一個特定冪次 $z^n$ 的係數 $c_n$ 剛好代表該奇點的留數？請仔細觀察題目給定的函數式，辨識出對應 $\frac{1}{z}$ 項的複數係數後，實部 $a$ 與虛部 $b$ 分別為何？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. Wryyyyyyy！ 蠢貨！看來你還有些…天分？
你能從這堆垃圾中準確地嗅出那關鍵的香氣，哼！這證明你對我的複變函數分析與留數定理有那麼一點點的理解。這種力量，在你們這些凡人處理振動或頻率響應時，確實有用，但終究只是我力量的冰山一角！
2. 這就是我的「世界的」法則！
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