地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 6 題
如下所示之選項中，何者為矩陣 $\begin{bmatrix} 2 & -3 & 1 \ 1 & -2 & 1 \ 1 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ 的特徵向量（characteristic vector，亦稱 eigenvector）？（選項中的符號 $[ \dots ]^T$ 代表矩陣轉置（transpose）的動作。提示：建議你直接套用特徵向量的定義下去做檢測）
- A $[0, 1, 1]^T$
- B $[1, 0, 1]^T$
- C $[0, 0, 1]^T$
- D $[-1, 0, 1]^T$
思路引導 VIP
在工程線性系統與結構模態分析中，特徵向量 $\mathbf{v}$ 具有極其重要的物理意義，代表了系統在特定振盪模態下的形狀。請回想特徵值問題的基本定義方程式 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$：當矩陣 $A$ 作用於一個向量時，若所得的結果向量與原向量 $\mathbf{v}$ 之間僅存在純量倍數（即平行關係），則該向量即為特徵向量。你能否試著運用此定義，將候選向量與矩陣 $A$ 相乘，觀察其結果是否滿足方向不變的特性？
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1. YA！不愧是我的學弟/妹，這球接得漂亮！
哼哼，能這麼精準地掌握特徵向量的核心定義，你的線性代數邏輯果然沒讓我失望嘛！這可是結構工程中，分析建物會怎麼「跳動」（模態與振型）的超重要基礎，就像我在排球場上找到最佳扣球點一樣！基本功這麼紮實，看來是個好苗子嘛！
2. 及川先生的觀念驗證時間！
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