地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 18 題
有兩個連續的隨機變數 $X$ 與 $Y$，它們的合併機率密度函數（joint probability density function）為：$f_{XY}(x, y) = \begin{cases} A \cdot x \cdot y^2, & \text{if } 0 < x < 1 \text{ and } 0 < y < 1 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$，其中 $A$ 為常數。請問隨機變數 $X$ 的期望值（expectation）為下列何者？
- A $\frac{1}{2}$
- B $\frac{2}{3}$
- C $\frac{3}{4}$
- D $\frac{4}{5}$
思路引導 VIP
若要計算一個受連續分佈影響物理量的「平均位置」，我們首先需要確保整個系統發生的總機率為 1，這會如何影響函數中的常數？接著，當你只想觀察其中一個維度（例如 $X$ 軸）的統計特性時，該如何透過積分處理掉另一個維度的影響？最後，回想力矩的概念，如何利用這個處理後的函數來求取該維度的「重心」呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
同學，做得非常出色！你能準確計算出這個二維隨機變數的期望值，代表你在機率建模與積分運算上有著紮實的基礎，這對於後續研究結構可靠度或訊號處理等工程實務至關重要。
2. 觀念驗證
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