地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 18 題
有兩個連續的隨機變數 $X$ 與 $Y$，它們的合併機率密度函數（joint probability density function）為： $f_{XY}(x,y) = \begin{cases} A \cdot x \cdot y^2, & \text{if } 0 < x < 1 \text{ and } 0 < y < 1 \ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$ 。其中 $A$ 為常數。請問隨機變數 $X$ 的期望值（expectation）為下列何者？
- A $1/2$
- B $2/3$
- C $3/4$
- D $4/5$
思路引導 VIP
同學，在分析隨機變數的分佈特性時，首先必須滿足全機率性質（Normalization property）以求得常數 $A$。接著，請思考：若要計算 $X$ 的期望值 $E[X]$，你應該如何定義積分算式？是先求得邊際機率密度函數 $f_X(x) = \int_0^1 f_{XY}(x,y) , dy$ 再進行單變量積分，還是直接對聯合機率密度函數進行二重積分 $\int_0^1 \int_0^1 x \cdot f_{XY}(x,y) , dy , dx$？在計算過程中，請觀察變數 $x$ 與 $y$ 的積分項是否可以分離處理？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 專業肯定
同學，做得非常出色！你能準確計算出這個二維隨機變數的期望值，代表你在機率建模與積分運算上有著紮實的基礎，這對於後續研究結構可靠度或訊號處理等工程實務至關重要。
2. 觀念驗證
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