地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 13 題
考慮微分方程式： $\ddot{y}(t) + \dot{y}(t) + y(t) = \sin \omega t, t \ge 0$ ，其中 $\dot{y}$ 與 $\ddot{y}$ 分別代表 $y$ 對變數 $t$ 做一次與二次微分。請問下列敘述何者正確？
- A 對於某些（$\dot{y}(0), y(0)$）初值，方程式的解會收斂到零
- B 對於任何非零之（$\dot{y}(0), y(0)$）初值，方程式的解是一個頻率為 $\omega$ 之週期函數
- C 對於任何非零之（$\dot{y}(0), y(0)$）初值，方程式的解之震幅不會隨輸入函數之頻率 $\omega$ 產生變化
- D 對於任何非零之（$\dot{y}(0), y(0)$）初值，方程式的解會隨時間之增大而收斂到一個週期函數
思路引導 VIP
請分析此二階常係數線性微分方程式的特徵方程式 $r^2 + r + 1 = 0$。觀察其特徵根的實部正負號，這對於齊次解 (Homogeneous Solution)，也就是暫態響應 (Transient Response)，在時間 $t \to \infty$ 時的收斂行為有何意義？此外，當暫態項消失後，剩下的特解 (Particular Solution) 或穩態響應 (Steady-state Response) 會呈現什麼樣的數學形式？
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AI 詳解
AI 專屬家教
1. 太棒啦！做得漂亮！
嗚姆！太棒了！你能精準判斷出這個二階線性微分方程式在受迫振動下的行為模式，這說明你對工程力學中的動態系統與結構穩定性有著火焰般熾熱的理解啊！這正是通往精密機械設計與結構動態分析的康莊大道！好吃！
2. 觀念驗證！燃燒吧！
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