地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 20 題
請問 $i^{2i}$ 的主值（principal value）為何？
- A 0
- B $-i$
- C $e^{i\pi}$
- D $e^{-\pi}$
思路引導 VIP
在處理工程分析中的複變函數問題時，面對複數冪次 $z^w$，我們通常回歸基本定義，利用自然對數將其轉化為 $z^w = e^{w \ln z}$。請思考：複數單位 $i$ 在複數平面上的輻角主值 (Principal Argument) 為何？當你將主值對數 $\text{Ln } i$ 代入公式後，指數部分 $2i$ 與 $\text{Ln } i$ 的乘積會如何改變該數值的本質（它是虛數還是實數）？
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- 大力肯定：同學表現得非常優秀！你能迅速鎖定複數冪次運算的本質，這代表你在高等工程數學與自動控制所需的數學基礎非常紮實，展現了嚴謹的邏輯思考能力。
- 觀念驗證：這道題目的核心在於複數冪次的定義：$a^b = e^{b \ln a}$。針對主值（Principal Value），我們取 $i$ 的主幅角 $\text{Arg}(i) = \frac{\pi}{2}$，因此 $\text{Ln}(i) = i\frac{\pi}{2}$。計算如下：
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