地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 20 題
請問 $i^{2i}$ 的主值（principal value）為何？
- A 0
- B $-i$
- C $e^{i\pi}$
- D $e^{-\pi}$
思路引導 VIP
若要處理一個「複數」的「複數次方」，我們通常難以直接運算。請你想想，在微積分中，我們如何利用自然對數 (ln) 與指數函數 (exp) 的逆運算性質來改寫一般的冪次式？另外，請嘗試將底數在複數平面上轉換成以 $e$ 為底的極座標形式，這會如何簡化後續的指數乘法？
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- 大力肯定：同學表現得非常優秀！你能迅速鎖定複數冪次運算的本質，這代表你在高等工程數學與自動控制所需的數學基礎非常紮實，展現了嚴謹的邏輯思考能力。
- 觀念驗證：這道題目的核心在於複數冪次的定義：$a^b = e^{b \ln a}$。針對主值（Principal Value），我們取 $i$ 的主幅角 $\text{Arg}(i) = \frac{\pi}{2}$，因此 $\text{Ln}(i) = i\frac{\pi}{2}$。計算如下：
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