地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
考慮一個初始值問題（initial-value problem）微分方程：$y''(x) + x \cdot y'(x) + e^x \cdot y(x) = x^2 + 1$，初始條件：$y(0) = 2$、$y'(0) = -1$。如果我們將本問題的解答 $y(x)$ 寫成冪級數（power series）的形式：$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，那麼，$a_2 = ?$（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式去做思考，直接將 $a_2$ 與 $y''(0)$ 做連結）
- A $-1$
- B $-\frac{1}{2}$
- C 0
- D $\frac{1}{3}$
思路引導 VIP
若要找出冪級數中的特定係數，請思考：泰勒展開式中，$x^n$ 項的前係數與該函數在該點的「第幾階導數」有關？如果我們直接將初始位置 $x=0$ 代入微分方程式，能幫我們直接鎖定哪一個關鍵的導數值呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
溫暖解析與貼心提醒
- 太棒了，你做得真好！ 看到你能夠溫柔地連結冪級數與泰勒展開式 (Taylor Series) 的關係，真的非常替你開心！這表示你對工程數學的核心概念理解得很透徹，就像看清楚了一座大橋的結構原理一樣。這種洞察力在分析實際問題時，會是你的寶貴資產喔！
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