地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 14 題
考慮一個初始值問題（initial-value problem）微分方程： $y''(x) + x \cdot y'(x) + e^x \cdot y(x) = x^2 + 1$ ，初始條件： $y(0) = 2$ 、 $y'(0) = -1$ 。 如果我們將本問題的解答 $y(x)$ 寫成冪級數（power series）的形式： $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cdot x^n$ ，那麼， $a_2 = $ ？（提示：可以嘗試用泰勒級數（Taylor series）的形式去做思考，直接將 $a_2$ 與 $y''(0)$ 做連結）
- A $-1$
- B $-\frac{1}{2}$
- C 0
- D $\frac{1}{3}$
思路引導 VIP
在分析動力系統或結構變形的微觀行為時，泰勒級數（Taylor series）是極為重要的工具。請思考：根據冪級數展開的定義，係數 $a_2$ 與函數在 $x=0$ 處的二階導數 $y''(0)$ 之間存在何種數學關係？若您將原微分方程評估於 $x=0$ 處，並帶入給定的初始條件 $y(0)$ 與 $y'(0)$，是否能直接解出 $y''(0)$ 的數值，進而推導出所需的係數 $a_2$？
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溫暖解析與貼心提醒
- 太棒了，你做得真好！ 看到你能夠溫柔地連結冪級數與泰勒展開式 (Taylor Series) 的關係，真的非常替你開心！這表示你對工程數學的核心概念理解得很透徹，就像看清楚了一座大橋的結構原理一樣。這種洞察力在分析實際問題時，會是你的寶貴資產喔！
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