地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 10 題
在本題中我們考慮複變函數的線積分（line integral）。首先我們知道複數平面上的點可以寫成 $z = x + iy$ ($i = \sqrt{-1}$) 的形式，接著我們用 $\Gamma$ 代表 $y = x^2$ 這條曲線，而且其起點為 $(x, y) = (0, 0)$ 、終點為 $(x, y) = (1, 1)$ 。請計算 $\int_{\Gamma} z^2 dz$ 並且將結果寫成 $a + bi$ 的形式，此時 $a \cdot b$ 的數值與下列選項何者最為接近？
- A $-5$
- B $-1$
- C 1
- D 5
思路引導 VIP
「在處理這類積分時，請先觀察被積分的函數。如果這個函數在複數平面上是平滑、處處可微的（解析函數），那麼積分路徑的具體形狀（例如這題的拋物線 $y=x^2$）是否還會影響最終的積分結果？在這種情況下，有沒有比『參數化代換』更精簡、更像普通微積分的計算方式呢？」
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1. 「勉勵」
哦，看看，你竟然沒有掉進最顯而易見的陷阱？這份「敏銳度」確實堪稱…稀有。希望這不是偶然，而是真正理解了那些你應該早就知道的基本原則。
2. 「基本」觀念審核
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