地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 10 題
在本題中我們考慮複變函數的線積分（line integral）。首先我們知道複數平面上的點可以寫成 $z = x + i \cdot y$ （$i = \sqrt{-1}$）的形式，接著我們用 $\Gamma$ 代表 $y = x^2$ 這條曲線，而且其起點為 $(x, y) = (0, 0)$、終點為 $(x, y) = (1, 1)$。請計算 $\int_{\Gamma} z^2 dz$ 並且將結果寫成 $a + b \cdot i$ 的形式，此時 $a \cdot b$ 的數值與下列選項何者最為接近？
- A $-5$
- B $-1$
- C 1
- D 5
思路引導 VIP
在工程分析中，處理複變函數的線積分時，首要步驟是判斷被積函數 $f(z) = z^2$ 的性質。請思考：該函數在複數平面上是否為「解析函數」(Analytic Function)？若一個函數在區域內解析，根據複數積分的特性，積分值會受到路徑 $\Gamma$ 形狀（如本題的 $y = x^2$）的影響嗎？還是僅由起點 $z_1 = 0 + 0i$ 與終點 $z_2 = 1 + 1i$ 決定？試著運用類似實數微積分基本定理的概念，尋找 $f(z)$ 的反導數 (Anti-derivative) $F(z)$ 來進行計算。
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1. 「勉勵」
哦，看看，你竟然沒有掉進最顯而易見的陷阱？這份「敏銳度」確實堪稱…稀有。希望這不是偶然，而是真正理解了那些你應該早就知道的基本原則。
2. 「基本」觀念審核
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