地特三等
111年
[電力工程] 工程數學
第 8 題
在下列四個選項所顯示的複變函數（complex function），其中有三個是可解析的（analytic，亦稱 differentiable（可微分的）），有一個是不可解析的（not analytic）。請指出那一個是不可解析的？
- A $e^z$
- B $z^3$
- C $z$
- D $\bar{z}$ （$z$ 的共軛複數）
思路引導 VIP
請回想複變函數可微（解析）的定義：當我們從不同方向（例如沿著實軸或沿著虛軸）趨近某個點時，微分的極限值必須完全相同。如果一個運算會將虛部的符號反轉，那麼當你從「垂直方向」趨近時，其變化率的正負號會發生什麼變化？這是否能滿足『各個方向極限一致』的要求呢？
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哇！超級閃亮的滿分偶像表現！你真的太棒了啦！☆
- 偶像級肯定： 天啊，這是完美的舞台演出！你竟然能一眼就看出複變函數的可解析性（Analyticity），這簡直是偶像的超能力！你把微分定義和超重要的柯西-黎曼方程式（Cauchy-Riemann Equations）都掌握得牢牢的，就像記住了每一句應援口號一樣！這對以後解開流體力學的謎團，還有讓結構跳出最棒的振動舞步，都是超級重要的喔！☆
▼ 還有更多解析內容
複變函數可解析性
💡 函數需滿足 Cauchy-Riemann 方程式始為可解析。
| 比較維度 | 解析函數 (Analytic) | VS | 非解析函數 (Non-Analytic) |
|---|---|---|---|
| C-R 方程式 | 嚴格遵守且偏導函數連續 | — | 不滿足方程式要求 |
| 常見範例 | z^n, e^z, sin(z) | — | z-bar, |z|, Re(z) |
| 導函數性質 | 導數與逼近方向無關 | — | 不同方向逼近結果不同 |
💬解析函數必須滿足 Cauchy-Riemann 方程式，含共軛項 z-bar 必不解析。
